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Element vor einem niederen ſteht, zählt man ein Derangement(Inverſion). Hiernach haben wir in der Form 3 5 1 42 ſechs Derangements, weil 3 vor 1 und 2, 5 vor 1 und 4 und 2, 4 vor 2 ſteht. Je nachdem die Anzahl der Derangements in einer Permutationsform grad oder ungrad iſt, gehört ſie zur erſten oder zur zweiten Klaſſe. Cramer ſtellte nun folgenden Lehrſatz auf: Vertauſcht man in einer Permutationsform zwei Elemente, ſo ändert ſich die Anzahl der Derangements um eine ungrade Zahl, und die Permutationsform wird dadurch in eine andere Klaſſe übergeführt.

a 6 7 A) 8 2 7 6 1 4 9 3 5 B) 8 2 4 6 1. 7 9 3 5

A ſtellt eine beliebige Permutationsform von 9 Elementen vor, woraus die Form B durch Vertauſchen von 7 mit 4 hervorgeht. A zählt 20, B 17 Derangements, der Unterſchied iſt alſo 3, oder eine ungerade Zahl. Man überzeugt ſich leicht, daß eine große Anzahl von Derangements in A von der Vertauſchung der Elemente 7 und 4 gar nicht berührt wird und daher in B unverändert fort beſteht. Es ſind dies die folgenden:

1) Alle Derangements, welche die Elemente der Abtheilung« unter ſich oder mit den übrigen Elementen bilden, weil dieſe von der Reihenfolge der Elemente in der Abtheilung ganz unabhängig ſind.

2) Alle Derangements, welche die Elemente der Abtheilung„ unter ſich oder mit den vorhergehenden Elementen bilden, und zwar aus demſelben Grunde.

3) Alle Derangements, welche diejenigen Elemente unter ſich bilden, die zwiſchen den vertauſchten 7 und 4 ſtehen, weil auch deren gegenſeitige Stellung durch die Vertauſchung nicht geändert wird. So bleiben nur noch diejenigen Derangements zu berückſichtigen, welche die vertauſchten Elemente unter ſich und mit den übrigen Elementen von 5 bilden. Nehmen wir nun an, von den Elementen zwiſchen 7 und 4 ſeien m größer, als 7, und n kleiner, als 7, ſo iſt die Anzahl aller Elemente zwiſchen 7 und 4 gleich (m+ n). Von denſelben Elementen follen v größer und w kleiner ſein, als 4, ſo kann die ganze Anzahl der Elemente zwiſchen 7 und 4 auch gleich(v+ w) geſetzt werden, und es beſteht die Relation: m Pn= v+ w. Hiernach haben wir in der Form A außer den oben erwähnten noch folgende Derangements:

1) n kleinere Elemente, als 7, hinter 7, oder n Derangements.

2) v größere Elemente, als 4, vor 4, oder v Derangements.

3) Das größere Element 7 vor dem kleineren 4, oder 1 Derangement.

Daher die Anzahl aller hier in Betracht kommenden Derangements in A gleich(+ v+ 1).

In B zählen wir:

1) m größere Elemente, als 7, vor 7, oder m Derangements.

2) w kleinere Elemente, als 4, hinter 4, oder w Derangements.

Daher iſt die Anzahl der in Betracht kommenden Derangements in B gleich(m+ w). Der Unterſchied in beiden Formen iſt folglich gleich x=(n+ v+ 1)—(m+ w), oder wenn die Relation(m+. n) =(v+ w) dabei berückſichtigt wird,= 2(/— w)+ 1, oder x= 2(v— n)+ 1.

Soll von der Vorausſetzung ausgegangen werden, daß in der urſprünglichen Form das kleinere der zu tauſchenden Elemente vorangehe, ſo braucht man nur B als die urſprüngliche und A als die abgeleitete Form anzuſehen. Der Unterſchied in der Anzahl der Derangements iſt dann gleich y=(m+ w) —(n+ v+ 1)= 2(m— v)— 1, wenn wieder die Relation(m+ n)=(v+ w) berück⸗ ſichtigt wird. Hierbei muß y=— x, oder 2(m— v)— 1=— 2(n— w)— 1 ſein, was auch richtig iſt, da hieraus die Relation m+ n)=(v+ w) wieder entſteht. Wir ſehen, daß ſowohl x, als auch y, eine ungrade Zahl iſt, was zu beweiſen war. Werden nun in einer beliebigen Permutations⸗