3

empiriſch aufgeſtellt, aber dennoch für Determinanten jeder beliebigen Ordnung gültig, heißt ſo: Um die Glieder einer Determinante zu erhalten, geht man von dem poſitiv geſetzten Diagonalglied aus und leitet daraus die übrigen Glieder nach und nach dadurch ab, daß man in dem unmittelbar vorher gehenden Glied zwei Indices vertauſcht und dabei das Zeichen des Gliedes wechſelt. Das Verfahren iſt beendet, ſobald keine neuen Glieder mehr entſtehen.

Das poſitiv geſetzte Diagonalglied in(2) heißt:+ arbecg

Man vertauſcht 2 mit 3 und wechſelt das Zeichen:— arbascz „„ 18„ 2 p„„ 1„+ asbaci 1r 3 1 71 1 11— azbics „„ 2 11„ 3.„ 1 1 1+ asbicz * 1 2 1 I 1— asbzci

Die fortgeſetzte Vertauſchung liefert keine neuen Glieder mehr. Die Anzahl der Glieder kann auch ſchon im Voraus beſtimmt werden. Denn wie man ſieht, enthalten die Determinantenglieder ſämmtliche Permutationsformen der Indices, woraus dann folgt, daß die Anzahl der Glieder mit der Anzahl dieſer Permutationsformen übereinſtimmen muß. Eine Determinante der dritten Ordnung wird mithin 3 ✕ 2 ✕ 1= 6, eine der vierten Ordnung 4 3% 2 ✕ 1= 24 Glieder haben müſſen. Soll die Richtigkeit dieſes Bildungsgeſetzes für Determinanten höherer, z. B. der fünften Ordnung geprüft werden, ſo löſt man ein Syſtem von 5 linearen Gleichungen auf und unterſucht, ob der Nenner dieſer Auflö⸗ ſungen identiſch gleich iſt der Determinante, welche nach dem Leibnitz'ſchen Geſetz aus den Coefficienten des Syſtems entſteht. Man wird in allen Fällen dieſe Identität conſtatiren können.

Leider zeigt ſich ſchon bei der erſten Anwendung, daß dieſe ſo einfache Regel nicht ganz präcis iſt, denn aus dem Diagonalglied können die 3 ganz verſchiedenen Glieder:— albscz,— asbics,— asbaci hervorgehen, je nachdem man das eine, das andere, oder das dritte Indices⸗Paar vertauſcht, und ſo bleibt noch zu entſcheiden, welches von dieſen 3 Gliedern als erſte Ableitung angeſehen werden ſoll. Bei Deter⸗ minanten höherer Ordnung iſt natürlich die Zahl dieſer erſten Ableitungen und damit die Verlegenheit der richtigen Auswahl noch größer. Ueber alle dieſe Zweifel mag uns einfach die Thatſache hinweg helfen, daß man ſchließlich dieſelbe Determinante erhält, in welcher Reihenfolge man die Indices auch vertauſchen mag, wenn nur jedem Indices⸗Wechſel auch ein Zeichen⸗Wechſel entſpricht, eine Thatſache, welche an einigen Beiſpielen leicht erläutert werden kann. Von größerer Bedeutung iſt der Umſtand, daß uns Leibnitz nicht lehrt, wie man aus der Beſchaffenheit eines beliebig heraus gegriffenen Gliedes deſſen Vorzeichen beſtimmen könne. Um über dieſes nach unſerer Regel zu entſcheiden, muß man unterſuchen, durch wie viele Indices⸗ und entſprechende Zeichen⸗Wechſel das fragliche Glied aus dem Diagonalglied hervorgegangen iſt, eine Unterſuchung, die beſonders bei Determinanten höherer Ordnung ſehr umſtändlich iſt. Da nun jedem Indices⸗Wechſel ein Zeichen⸗Wechſel, aber auch eine beſtimmte Permutationsform der Indices entſpricht, ſo iſt gewiß, daß zwiſchen der Form der Indices und dem Vorzeichen eines Gliedes ein beſtimmter Zuſammenhang beſteht, welcher, einmal erkannt, dazu dienen kann, das Zeichen zu beſtimmen.

§. 4. Die Aenderung der Klaſſe einer Permutationsform durch das Vertauſchen von zwei Elementen.

Die Eigenſchaften der Indices⸗Permutationen, welche für die Beſtimmung der Vorzeichen maßgebend ſind, wurden zuerſt von Cramer erkannt. Man ſagt, eine Permutationsform ſei wohl geordnet, wenn ihre Elemente in der natürlichen Ordnung des Zahlenſyſtems auf einander folgen. Aendert man dieſe natürliche Reihenfolge der Elemente, ſo wird die Permutationsform derangirt, und ſo oft dann ein höheres

1*