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Der Zuſammenhang dieſer Löſungen mit den Coéfficienten und Conſtanten des Syſtems kann kurz in folgenden Sätzen zuſammengefaßt werden:

1. Die Werthe der 3 Unbekannten haben denſelben Nenner.

2. Der Nenner iſt von den Conſtanten des Syſtems ganz unabhängig und nur aus den Coeffi⸗ cienten zuſammengeſetzt.

3. Die Zähler werden aus dem Nenner abgeleitet, indem man beſtimmte Coefficienten mit den Conſtanten vertauſcht. So entſteht der Zähler von x, indem man für al, bi, ci im Nenner a, 6,„ ſubſtituirt.

Man ſieht, bei der Ermittelung des dllgeneinen Auflöſungsgeſetzes kommt Alles darauf an, in dieſen Löſungen die Abhängigkeit des Nenners von den Cocfficienten des Syſtems feſtzuſtellen, und es wurde für zweckmäßig gehalten, dieſem Nenner einen beſonderen Namen zu geben. Die Benennung Determinante iſt die allgemein gebräuchliche. Die Coefficienten ſelbſt werden, weil ſie die Grundbeſtandtheile der Determinante ſind, Elemente genannt. Dieſe können nur zu je 4, 9, 16 ꝛc., überhaupt nur in quadra⸗ tiſcher Anzahl gegeben ſein, und man unterſcheidet hiernach Determinanten der zweiten, dritten, vierten ꝛc. Ordnung.

§. 3. Das Bildungsgeſetz der Determinanten.

Um das Bildungsgeſetz einer Determinante leicht zu überſehen, ſtellen wir ihre Elemente nach Anlei⸗ tung des Syſtems(1) in folgender Weiſe zuſammen: al a2 a bi b⸗ ba CI C C Gewöhnlich wird eine Determinante ſchematiſch durch ihre Elemente in dieſer Weiſe bezeichnet; nur bedient man ſich manchmal einer abgekürzten Schreibweiſe und ſetzt ſtatt des ganzen Schemas deſſen Diagonal⸗ glied(arbzcz), woraus ja das vollſtändige Schema leicht wieder hergeſtellt werden kann. Die Deter⸗ minante, bekanntlich der Nenner obiger Löſungen, heißt ſo:

arbCa— al bca— ag bgci— agbicCa— ag bi ca— agbaci.

Jedes Glied enthält je ein Element aus der Reihe der a, b und der c, nur haben dieſe Elemente ver⸗ ſchiedene Indices, d. h., ſie ſtehen zugleich in verſchiedenen Vertikal⸗Reihen. Will man alſo ein beliebiges Glied aus ſeinen Elementen zuſammenſetzen, ſo muß man dieſe in dem Schema ſo auswählen, daß ſie verſchiedenen Horizontal⸗ und zugleich verſchiedenen Vertikal⸗Reihen angehören. So darf man z. B. au nur mit ba oder ba, aber nicht mit bi verbinden. Zu auba darf nur ca, zu arba nur ce gefügt werden, und ſo erhält man die beiden Glieder arbecs und albacz. In gleicher Weiſe entſtehen die Verbindungen aaba, oder aabs, und daraus die beiden Glieder asbics und asbsci. Stellt man unter Berückſichtigung dieſer Beſtimmungen alle möglichen Verbindungen der Elemente zu je 3 her, gibt man alsdann dieſen Verbin⸗ dungen die geeigneten Vorzeichen(wie dieſe beſtimmt werden, wird ſpäter gezeigt), ſo iſt die Summe all dieſer Glieder die geſuchte Determinante.

Dieſe Methode, die Glieder einer Determinante aus ihren Elementen zuſammen zu ſetzen, geſtattet zwar in das Weſen derſelben eine klare Einſicht, allein für die Praxis eignet ſie ſich weniger, weil ſie ſehr umſtändlich iſt, und, beſonders bei Determinanten höherer Ordnung, einzelne Glieder leicht überſehen läßt. Dabei iſt ſie auch unvollſtändig, indem ſie uns über das Zeichen der Glieder gar keinen Aufſchluß gibt.

Leibnitz hat zuerſt ein einfaches Verfahren angegeben, nach welchem die Glieder einer Determinante nebſt ihren Vorzeichen aus dem Schema der Elemente abgeleitet werden können. Dieſe Regel, zwar nur

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