12

ergiebt. Da nun für h= 1 die Formel so) allgemeine Gültigkeit hat, so gilt sie

also für jede beliebige Anzahl von Elementen, die den gleichen Elementen nachfolgen.

Wir haben also gezeigt, dass, wenn das Gesctz, welches durch die Formel 8,00) ausgedrückt ist, statt findet, sobald die gleichen Elemente in der gegebenen Reihenfolge die rte Stelle einnehmen, es auch statt finden müsse, wenn die gleichen Elemente in der r-† 1ten Stelle stehen. Da nun aber oben die Formel für den Fall erwiesen ist, dass sie die zweite Stelle einnehmen, so ergiebt sich hieraus die voll-

ständige Allgemeinheit derselben. Es ist also immer

8.„= Al 294-=1)—9(e—i) () 11 7*

an welcher Stelle auch die gleichen Elemente unter den gegebenen sich vorfinden.

Um nun weiter die Summe der YNariationen zu finden, wenn sich unter n Elementen ausser p gleichen noch 4 gleiche vorfinden, betrachte man zuerst den Fall, dass p und q= 2 sind, und gebe den gleichen Elementen die erste Stelle. Man versetze demnach die n Elemente

1 12 234. n-— 2. Bezeichnet man die Summe der Variationen für diesen Fall mit 82(2)(²)' s0 ergiebt sich:

(n— ¹)! 1(n+ 3)(n— 4 n— 1)! 8²)G)= 28,—162 42.—m t.(n-— 4)8,— 1ν̈‿ n

Da man nun für n= 4 unmittelbar 41 4. 3— 2.1— 2.1 542*): 1 erhält, so lässt sich die Summe der Variationen für jedes grössere n nach obiger Formel finden, und man erhält:

n! n— 1)— 2.1— 2.1 80(2)(2)= 7.

eine Formel, deren Allgemeinheit sich leicht beweisen lässt, wenn man annimmt, dass sie für n= h gültig sei, und zeigt, dass sie dann auch für n=h1 statt finden müsse.

Um die gefundene Formel für den Fall zu verallgemeinern, dass die p ersten Elemente unter einander, und ausserdem die beiden folgenden unter sich gleich sind, setze man voraus, dass für p= h

1)— blh 1)— 2.1 8n(4)(2)= 7

sei, so lässt sich zuerst zeigen, dass das in der Formel ausgesprochene Gesetz ebenfalls statt findet, wenn p= h-Hl, und n=h3 ist, wo also den gleichen Ele- menten weiter keine nachfolgen.