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Summirt man nun obige Reihe, so erhält man:

rLra M)Ce b)=-. 1)h

Hieraus ergiebt sich also, dass, wenn unter r p Elementen p Eleiche vorkomnes, und zwar so, dass den gleichen Elementen weiter keine nachfolgen,

n(-+ p)(--P p 1)— p(p— ¹) s Sr†.PGP) 2— 5

Um nun den Beweis weiter fortzuführen für den Fall, dass dem gleichen Elementen noch andere von ihnen verschiedene nachfolgen, nehme man p= 2, n= r4 2*†h, so dass also den beiden gleichen Elementen, welche die(r+. ¹) te Stelle einnehmen,

noch h Elemente nachfolgen, und setze voraus, dass

(-†h+ ²)!(r+ℳ h+ 2)r+ h 4 1)— 2 Sr 14+ 2(2)—— 2 7

sei; dann lässt sich zeigen, dass dasselbe Gesctz stattfindet, sobald die Anzahl der den gleichen Elementen nachfolgenden hl ist. Berechnet man nämlich die Summe

der Variationen jeder Ordnung, so ist

4+ ½+ ²)! 5e-4b3)= Sr4+2 lsA ereEe. LsA22* 2.

1) Cr Sn

Ln 1,. 3

JIsS2 r.(r-. h 2)I s.4+ℳο 2)

r. r-†h G +r n. 4* 12)

+ls.†2 2) Cr— 1+.

* Ir2d Per4 r

3n(eXI K2)2 21 5 4

woraus sich s1*32)=

ergiebt. Da sich nun leicht zeisen lässt, dass, wemm den beiden glescheh Elementen

noch eins nachfolgt: (+ ³):(e)ee 8,4.)= e

so ergiebt sich hieraus, in Verbiaduug mit dem Vorigen, die 2llgomeine Gültigkeit

5*

der Formel sn(p), sobald p= 2. Man setze nun voraus, dass dasselbe Gesetz stattfindet, wenn p= h ist, so lässt sich zeigen, dass es auch statt ſinden müsse, wenn P= E ist; und zwar zunächst für den Fall, dass nur ein Element den gleichen nachfolgt. Man versetze demnach die Elemente: 13, 1 2 G 1 15 omian h44 310 7 124 In 12 3.1.r n— Ge 80 nehmeh in den Ordnungen 1 bis r die Eleihen Elemente unter den zu versetzenden die r te Stelle ein; für diesen Fall ist aber nach der zuerst emachten Voraussetzung