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zugleich aber auch für n= 5 und p= 3, mithin auch für n= 6 und p= 4, so dass also s6(⁴) erwiesen ist. Wie gezeigt werden kann, dass auch 87(4), s8(4) u. s. w. 8,(4) demselben Gesctz unterliegen, ist leicht einzusehen. Auf diese Weise lassen sich die Schlüsse bis zu jeder beliebigen Anzahl der gleichen Elemente fortsetzen; wir können daher die Formel so(p) als streng erwiesen betrachten, für den Fall, dass
die p gleichen Elemente in der gegebenen Reibenfolge die zweite Stelle einnehmen.
Es lässt sich aber die Formel ganz allgemein beweisen, für den Fall, dass die p gleichen Elemente eine beliebige Stellang unter den n gegebenen einnehmen.
Man setze zu dem Ende voraus, dass die Formel§5() Sültig sci, für den Fall, dass die p gleichen Elemente die rte Stelle in der gegebenen Reihenfolge ein- nehmen; dann folgt daraus unmittelbar die Richtigkeit der Formel für n= 14 2 und p= 2, wo nämlich die beiden gleichen Elemente in der(r.1)ten Stelle stehen. Aus der Versetzung der Elemente 1 23...r(r†. ¹)(r† ¹) ergiebt sich nämlich als Summe der Variationen:
(ℳ ¹)!+ ¹1)1 8,+12) ℳS⸗41²) † t. IS.+)ℳ 2.— r. s 4 ℳ— 1) te2 + s.41%Tr.(r ¹) 1,
(r+ 2)!(r+ 2)(+ 1)— 2
woraus folgt: 8.+ 2)= ſf.—
Da aber s.+(²) gefunden ist, so lässt sich auch die Formel 8..()
hieraus beweisen, immer unter der Voraussetzung, dass die p gleichen Elemente die
(r- 4)te Stelle einnehmen. Wenn man nämlich voraussetzt, dass die Formel 8.4 0)
für p= h gültig sei, so ist sie auch für p= h4l gültig. Aus den Versetzungen der Elemente 23
1 2 3.. r(r†. ½%r+. 1)(r+ ¹) erhält man für die Summe der Variationen die Reihe:
(+ ¹)! 4+*** ssouPse2(à ¹) en 1 4+ 2².— 8*
+ ls ,44041 lr 1)t ν.)-r. S u
weil in den O. aungtn 1 biser die h+t gleichen Elemente die r te Stelle einneh- men, und nach obiger Voraussetzung die allgemeine Formel in diesem Falle gültig sein soll; in der letzten(rrf- 1) ten Ordnung aber unter den versetzten Elementen nur h gleiche vorkommen, welche zwar die(r!)te Stelle einnehmen, für welchen Fall
aber auch die Formel als gültig vorausgesetzt ist. 2