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Da nun in dem vorliegenden Fall die Formel 8502) gültig ist, sobald n= 3 in- dem nämlich die Summe der Variationen aus den Elementen 1 2 2 durch die Formel!

3! 3. 2— 2

—,= 3 ausgedrückt ist, so ist die allgemeine Gültigkeit derselben erwiesen.

Man setze nun voraus, dass

n! n(n- 1)— p pé- ¹) *

— 320p)= p. 2. wenn en den Werth h und p die Werthe 2, 3 u. s. w. bis r hat, alsdann lässt sich zeigen, dass auch 3⁄ 41(-)= Aren. 3. 3

...—.. Versetzt man nämlich die h4l Elemente 1 2 2. 2 3.(h- r 2), so ist die Summe der Variationen in der 1sten Ordnung 1.[,2. 2. 2 3...(h-r. †. 2)= 540-),

in der 2ten Ordnung 2 1 2.. 2 3..(h-rH. 2)= 6-h in der 3ten Ordnung 31 12 2 4.(h- r4 ²2)= 8200)++., in der 4ten Ordnung 4 1 2.. 2 3..(h-— r+. 2)= 81(r).(c-H 2) 2, u. s. w. in der(h—r+. 2)ten(h— r* ²) 1 2 2.. 2 3...(h-r+ 1)= 840) LhA. Die Summe sämmilicher Variatiouen su. ist daher = 840-) HLSuGr uοt-H.AsGth 22 = 85: ¹) †G Pr ALrl-1)2LL. Hlsu) Pb.r, 2. 1) P[2840H0b K.r)-er 4—

—(à+ 1)!(à+ ¹1)b— r(r— 1) — rl. 4

Da nun die Formel 8(p) auch in dem vorliegenden Fall gültig ist, wenn n= p †!, indem dann die Somme der Variationen= 1p(Pℳ ¹) ist, so sind also die Ausdrücke 54(3)⸗ 5804) u. 5-. W. bekannt. Nun ist aber s,(z) allgemein gültig, folglich auch für n= 4, mithin nach obigem Beweise, wenn h= 4 undr= 3 gesetzt wird, auch 18205) gültig, sobaldon,= 5 und r= 3. Weil nun 863) erwiesen ist, und für s 5²) gleichfalls die allgemeine Formel gültig ist, so folgt daraus die Gültigkeit der For- mel 86(3) u. S. W. Sa(3): Es ist ferner die Formel sadp) gültig für n= 5 und p= 4,