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Um die allgemeine Gültigkeit dieser Formel streng zu beweisen, setze man voraus, dass sie ihre Gültigkeit habe, sobald die Anzahl der Elemente, unter wel- chen die p ersten gleich sind, h ist, und dass sie ebenfalls gültig sei, und zwar für jede beliebige Elementenanzahl, wenn die p- ersten Elemente gleich sind. Bildet man nun die Permutationen aus den Elemenien:

. b-H ¹ 11. 1234 e-y..

so ist die Summe der Variationen in der ersten Ordnung 111. 123.[hh41— p ¹1, da das Anfangselement 1 mit keinesi der. andern in dieser Ordnung versetzten Ele- mente eine Variation bildet= 8u0— 1) In der zweiten Ordnung: 2 1111 134. Ih+1—(p ¹)]1 ist, da ausser den Variationen, welche die versetzten Elemente bilden, das Element 2 mit jedem der Elemente 1 eine Variation macht, die Summe der Variationen

h!

— S/(p)*P. Ir Die dritte Ordnung enthält:

O t GA)n 1

die vierte e-2)t, u. 3. W.

die letzle, d. h. die Ih-. 1—(pP— ¹) lte Ordnung: 8u) Ph. r

Variationen. Es ist daher die Summe sämmtlicher Variationen:

4 41 h! h! I 84+ 16)= 84Go— ¹) †LSCey p. LSuG) b. su) h 71

mithin 3444— 82- ¹)+ A[2 u) H(b † b)r*

+ 9*1 22 2 P Lee-n). 4*

= 1=4(b4l—P)et

= 84G= 1¹) H d*— P)su)*

Da nun nach obiger Voraussetzung die Formel(k.) für n== h gültig sein

soll, nicht blos, wenn die p ersten, sondern auch in den Fällen, wo die p-—1 ersten Elemente einander gleich sind; so kann man für sh-1) und sup) die Werthe aus

(E) substituiren, und erhält alsdann: