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Um die Formel zu verallgemeinern für den Fall, dass unter den gegebenen Elementen mehrere gleiche vorkommen, setze man zunächst die beiden ersten Ele- mente unter den n gegebenen einander gleich, und denke sich sämmtliche Permuta- tionen gebildet. Die erste Ordnung derselben, deren erste Permutation

1[1 2 3. n- 1 ist, enthält natürlich, da die n-1 unter einander verschiedenen Elemente 1, 2, 3. n-1 versetzt werden, während 1 das Anfangselement bleibt, und mit keinem der übrigen n— 1 Elemente eine Permutation bilden kann 6—1=(n-91 Variationen. Die zweite Ordnung, deren erste Permutation 2[1 134.... n—1. ist, enthält ausser den Variationen der n-— 1 Elemente 1 1 3 4... n—1 noch in jeder Permutation zwei Variationen, da das Element 2 mit jedem der Elemente 1

eine solche bildet. Bezeichnet man nun mit sa-1(2) die Summe der Variationen von

n— 1 Elementen, unter welchen die beiden ersten gleich sind, so ist die Anzahl der Variationen in der zweiten Ordnung

= Sn- 1(²)* 2— Aus ähnlichen Gründen ist die Anzahl der Variationen in der dritten Ordnung, deren erste Permutation 3111 24. n—1 ist, L, in der vierten Ordanng: 84— 16²) 4. ☚—, u. s. w.;

und da hier überhanpt nur n-—1 Orlaner vorkommen, in der leeaten(n— 1) ten —1 Ordnung 4,-16)-H(n- 1)0. Bezeichnet man nun mit 85(p) die Summe der Variationen für n Elemente, unter denen die p ersten einander Maih sind, so ergiebt sich: 5912)= S2— 1 lsn- 1ℳ‿ ² 2ln=e)* 3 52 J.

s.4(²) 4.(n—— 1 2 Summirt man diese Reihe, un substituirt aus(d) den Werth für 8,— 1, 80 vgich

sich nach einigen leichten Veränderungen: 862)=(n—— 2) r 27 s,1G). Da nun sd) jedenfalls bekannt, nämlich= o ist, so lässt zich aus dieser Formel

die Summe der Variationen für jedes beliebige n finden. 1*