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deren Anfangselement 2 ist, die zweite u. s. w. Die Summe simtlicher Variationen von n Elementen bezeichne man mit sa, und entsprechend sei also sa, die Summe der Variationen für n-— 1 Elemente, s,2 dieselbe für n-— 2 Elemente u. s. w.

In der ersten Ordnung 1† 2 3 4.. n, wo nur die n— 1 Elemente 2 3.. n versetzt werden, während das Element 1 seine Stelle behält, ist daher die Summe der Variationen= 8a- 1, da das Element 1 mit keinem der andern Elemente eine Variation bilden kann. In jeder Permutation der zweiten Ordnung

2[13 45. macht aber das Element 2 mit dem Platene 1 eine Variation, folglich ist die Summe der Variationen in dieser Ordnung= 82-1 n— 1)!. Die Summe der Variationen in der dritten Ordnung ist aus ähnlichen Gründen, weil hier das Element 3 mit den beiden Elementen 1 und 2 in jeder Permutation zwei Variationen macht: 82— 1+. 2(n— ⁴)!, in der vierten Ordnung= s2- 1+ 3(n— ¹)!, u. s. w., in der letzten, d. h. nten Ordnung. 8-1-4(n. 4)(n—1!. Daher ist die Summe sämmtlicher Variationen von n Elementen 8,= 82— 1+[s 1*(n- 1) I+ s. 1 4 2(n— 1)114...+[s 1(n— 1)(n— ¹)!] oder 80= ns-1 † 1(n- ¹) nl. Da nun offenbar s,= o ist, so ergeben sich aus dieser Formel folgende Werthe: 8,— 1 s,

Die allgemeine Gültigkeit dieser Formel lässt sich mit Hülfe des oben angeführten rekur-

... 321 b6— 1 renten Gesetzes leicht durch Induktion beweisen. Ist nämlich: su= h1*n.

so ist 8u 4 1—(h4 1) s4+† 1(0+ ¹)!= G- ¹).hl. 4(h+ℳ1)! =(b† hl.,

woraus die allgemeine Gültigkeit der Formel sich ergiebt.