Ueber die Summe der Variationen.

BDisber hat man in der Lehre von den Permutationen nur die verschiedene Siel- lung aller Elemente mit der gegebenen Reihenfolge derselben verglichen, und dem gemäss die Anzahl der Permulationen für irgend eine Elementenanzahl, z. B. für n unter einander verschiedene Elemente, durch die Formel 1. 2. 3.... n=nl aus- gedrückt. Hat man aber einmal sämmlliche Permutalionen von nee einer Elemen- tenanzahl gebildet, so kann man auch die Stellung je zweier Elemente gegen einander in diesen Permutationen mit ihrer gegenseitigen Stellung in der gegebenen Reihenfolge vergleichen, und sich die Frage stellen: wie oft tritt in sämmtlichen Permutationen einer gegebenen Anzahl von Elementen ein Element vor ein anderes,

was ihm in der gegebenen Reihenfolge vorangeht?—

Cramer, der in dem Anhange zu seiner Introduction à l'analyse des courbes algébriques auf die Beantwortung dieser Frage zum Theil die Auflösung der Glei- chungen ersten Grades mit mehreren unbekannten Grössen gründet, bezeichnet das jedesmalige Vortreten eines Elementes vor ein anderes, ihm in der gegebenen Rei- henfolge vorangehendes, mit dem Namen„déchangement“. Herr Dr. Stern in Göttingen(man vergleiche: Crelle's Journal der Mathematik XVIII. pag. 100.) giebt diesen Ausdruck durch„Variationt wieder; desgleichen nennt er die Anzahl aller Variationen, welche in sämmtlichen Permutationen einer gegebenen Elementenanzahl enthalten sind,„Summe der Variationen“, und giebt dieselbe für zwei Elemente = 1, für 3 Elemente= 9, fär 4 Elemente= 72 an, indem er zugleich die Aufndung einer allgemeinen Formel hierfür als Problem hinstellt.

Um eine allgemeine Formel für die Summe der Variationen von n unter einander verschiedenen Elementen anlzufinden, denke man sich sämmlliche Permuta- tionen aus den n Elementen 1, 2, 3.. n gebildet, und nenne diejenigen unter ihnen,

welche das erste Elemente 1 zum Anſangselement labeh. die erkste Ordnung, die — ou 205 ſio-lni) uiaa4 ll ib zusrom

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