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42. 14, K, m. Schafft man in der Formel 21. m. den Nenner weg, quadrirt und dividirt auf beiden Seiten durch 2h+ i, so erhält man

kꝰ m((h+ i) 2+(h— ¹) k²)= 12(h+ i)(+ ih— 2): Diese Gleichung ist für i eine Gleichung des siebenten Grades und lautet reducirt:

i 3ʃi+(3ʃh2- M) is+.̃˖(hS-45/²) i+(K⁴ 2h? K2- 2ε²) is hk(ka-ma) ir †‿ mei-hlime= 0

43. 5, p, zu.

Die drei Segmente dürfen in dieser Nummer nicht von einander unabhängig gegeben sein, sondern es muss die Relation zwischen denselben stattfinden, dass 4*+2‿¶ ά ⁸ pz. Es ist also durch zwei gegebene das dritte Segment schon bestimmt. Solche zwei reichen aber dann zur Auffindung der fehlenden neun Segmente nicht hin, sondern es kann noch eins dieser letztern willkürlich gewählt werden.

Wir haben nunmehr die ganze Gruppe von Aufgaben, welche zusammen die grössere Aufgabe ausmachen, von den zwölf Segmenten der Seiten und Höhen eines spitzwinkeligen Dreiecks neun aus drei gegebenen zu finden, im Einzelnen betrachtet. Die Art der Betrachtung entsprach dem Lösen von Aufgaben, und es wurde desshalb auf die gesetzlichen Beziehungen, welche zwischen einem Complexe von Segmenten bestehen, nur gelegentlich hingewiesen. Frei- lich ist schon eine jede Gleichung, durch welche ein Segment aus drei andern gefunden wird, eine solche gesetzliche Beziehung, aber diese erscheint dann in der Regel nicht in ihrer ein- fachsten und elegantesten Form. Statt unsere ganze Gruppe von Aufgaben, wie es geschehen ist, aufzulösen, hätten wir auch die verschiedenen gesetzlichen Beziehungen, welche zwischen je vier Segmenten bestehen, in möglichst einfacher Gestalt entwickeln können. Dann wäre etwa folgender Weg einzuschlagen gewesen. Wir hätten die zwölf Segmente h, i, k, l, m, n, 0, p, 7, u, v, vollständig zu vieren combinirt und hätten. o.. 99 4 1 oder 495 Com- binationen erhalten. Von diesen wären zunächst alle diejenigen auszuscheiden gewesen, in welchen drei Segmente aus demselben rechtwinkeligen Dreieck zugleich vorgekommen wären.