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Mit Hülfe der gewonnenen Gleichungen 6, 7, 8, 9 sind wir im Stande alle diejenigen auf einer Fläche zweiter Ordnung gelegenen Punkte zu bestimmen, welche einen von 4 ausgehenden Lichtstrahl nach B reflectieren. Wir können dieselben entweder als die Schnittpunkte je einer Fläche 3ter Ordnung mit zwei solchen von der zweiten Ordnung (1 und 9) betrachten, oder auch als die gemeinschaftlichen Punkte der gegebenen Fläche zweiter Ordnung und zweier resp. dreier Cylinder, deren Erzeugenden zu den Coordinaten- ebenen senkrecht stehen, und deren Directricen Curven vierter Ordnung sind; wir können nämlich, wie leicht zu ersehen, mittelst der Gleichung 9 aus jeder der drei Gleichungen 6, 7, S eine Gleichung vierten Grades mit zwei Unbekannten herstellen.
Wir wollen uns darauf beschränken, drei Fälle näher zu betrachten:
Im ersten Falle sollen die reflectierenden Punkte einer beliebigen Fläche zweiter Ordnung mit Mittelpunkt. 4A und B aber einer der drei Hauptebenen angehören.
Im zweiten Fall sollen die reflectierenden Punkte einer Rotationsfläche angehören, 4 und BP aber sollen nicht in derselben Hauptebene liegen.
Im dritten Fall werden die reflectierenden Punkte auf einer Kugelfläche gesucht, während 4 und B sich irgendwo im Raume befinden.
IV.
Sind A und B Punkte der Sy Ebene, dann erhalten wir aus 6, 7 α, 8&., 9 für 21= 22= 0 6)(an— deεdτπκιαεσ*εν‿‿‿(au— ae)ae(" He)EéSaT aeg)E 4 2(aee-au) aua(ir— e) Ey deer(Tire aes au(vi Y2) E— d2(æ‿ 42) 7= 0, 75) 14— aa2) der(Vi*„2) 1²2+‿(aas— d2½)-11(Er 42) E 1— 2[(ass— d)+ aue dss 1H2l“
— ass ail(Tr*e A² 9i) E- ass(+]= 0, 86) 1— an) an(æ*+ 2) E2+(aas der) den(1¾ 92) 5— 2(‿—an) ass uσνι νele
— ags dee(ι+2)+ ass(Er+ 22) e* 0, 9 9,5) L(eν— 423)(T1— r2)+(a— an)(vI= Ye) F ds(wr he— 72 yrl. 8= 0
und ersehen daraus, je nachdem wir& gleich Null oder von Null verschieden an- nehmen, dass die reflectierenden Punkte entweder der y Ebene angehören und dann die Schnittpunkte des in dieser Ebene liegenden Kegelschnittes der gegebenen Mittelpunkt- fliche mit der Curve dritter Ordnung 68 sind, oder dass sie in der in 99 angezeigten Ebene liegen und die Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte sind, welche diese Ebene mit der gegebenen Mittelpunktfläche und einer der beiden in 7 und 89 enthaltenen Flächen zweiter Ordnung bildet.
Es ist bekannt, dass sich die Form aàσν+‿ν 2bæ c„ε+‿2dæ+ 29+ in ein Product a(r+ u„+)(E A,9 7) verwandeln lässt, wenn=def— aez— cde— fb2 + 25 3= 0 ist. 4*, 77. ·, T erheben sich dann aus den Bedingungen: