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Die Coordinaten der Durchschnittspunkte des Schnittes der oben genannten Polar- ebenen mit der Fläche 1æ genügen nicht der Gleichung 9æα und liefern daher keine reflectierenden Punkte.

Wir können demnach auch für die durch 6, 7, 8 angegebenen Flächen 3ter Ordnung schliessen, dass eine derselben in Verbindung mit 1 und 9 die reflectierenden Punkte bestimmt. Auch könnte man jede derselben ersetzen durch eine Gleichung, welche eben- falls vom 3ten Grade ist, und welche man durch Elimination von

an( a)-*2auls ℳ la((ε% 2 1ad]n[ass(ε ε*) 2 u]—t 2 141 aus 2 beliebigen derselben erhält.

Einem jeden wirklich reflectierenden Punkte O auf der Fläche 1 wird aber ein zweiter Punkt Gi derselben Fläche entsprechen, dessen Tangentialebene den Punkt Mi, und dessen Normale den Punkt Ma erzeugt(Fig. 2). Diese Punkte sind ebenfalls Schuitt⸗ punkte der Flächen 6. 7 oder 8 mit 9 und 1 und sollen kurz verwandte Punkte« heissen. Die verwandten Punkte besitzen die Eigenschaft, einen von 4 ausgehenden Lichtstrahl so zurückzuwerfen, dass der reflectierte Strahl rückwärts verlängert durch B geht.

II.

Auch auf anderem Wege lassen sich die gesuchten reflectierenden Punkte auffinden.

Wenn wir zu der Gleichung 1 der gegebenen Fläche zweiter Ordnung und der Gleichung 9, welche den geometrischen Ort aller der Normalen zur Fläche 1 darstellt, welche die Grade 4 B schneiden, noch den geometrischen Ort 11 aller derjenigen Punkte C bestimmen, deren Normalen mit 4 C und BC gleiche Winkel bilden, dann liefert der Durchschnitt der auf diese Weise erhaltenen Fläche 11 mit den beiden ersteren ebenfalls den Punkt C.

Wir gelangen aber zu der Gleichung 11 der letztgenannten Fläche durch die folgende Rechnung:

r-— E vie eie ee=aæ a, wenn a=—=,.== Zue. l- ist; 1— 1— Die Gleichungen der Graden 4 C sind 3 45d 4 24—71—5 217). e be+. 8, wenn 5—— 9=— M4 21 ist. 21 5 21—8 12— 2— /† 2, ſoe aie a, wenn= 52 1=—— t. Die Gleichungen der Graden B O sind 12 8 72 d 7/½—„p 7. J brs gi, wenn hi= 9a==2, B= ee ean ist. 72 22— g Die Gleichungen der Normalen sind a a—(au— a 4345— a48 = aer har wenn a— 6 11 0 38402,.(Au aa) f. 1345— 4140 ist; q33 a ds 4

e·2 2Q Se, wenn 5.=(Ce2h 1 424)e 6=—— ist. 3 Gaa as, 3 42 a3 34