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Aus α und y und aus und y oder durch die oben angeführte cyclische Vertauschung entstehen noch zwei andere Gleichungen, die sich von vorstehender nur im zweiten Faktor unterscheiden; derselbe wird das eine Mal aee y+ anr und das andere Mal àνᷣ ε+‿ς aa.
Der erste Faktor enthält, dem Nullwert entsprechend, die Bedingung, unter welcher eine der Fläche 1 zugehörige Normallinie die Grade 4 B schneidet; die zweiten Factoren, gleich Null gesetzt, bestimmen die Hauptdiametralebenen der Fläche 1 und geben an, dass sich in gewissen Punkten der Schnittcurve der Fläche 1 mit einer ihrer Hauptebenen Senkrechte errichten lassen, welche die Grade 4 B treffen. Liegt A und B in ein und derselben Hauptebene, dann wird jeder Punkt des Kegelschnittes fähig sein, ein die Grade 4 B schneidendes Lot zu tragen; liegen dagegen A und B nicht beide gleichzeitig in einer Hauptebene, dann wird es nur 4 Punkte Pi, Pa, P,, P. geben, welche diese Eigenschaft besitzen. Da aber in diesem Falle alle vier Normalen denselben Punkt P der Graden 4 B treffen, und da dieser Punkt P für alle Punkte A und B der Graden 4 B derselbe bleibt, so sind Pi, Pa, Pe, Pa nicht notwendig reflectierende. Wir schliessen daraus, dass die zu solchen Punkten A und B, welche nicht gleichzeitig in einer der Hauptebenen der Fläche 1. liegen, gehörigen Reflexionspunkte auf der mit 9 bezeichneten Fläche 2ter Ordnung zu suchen sind.
9)(au— a*2)(æl-— 22) E an(Hier Äee1)- a(I=H2) 24(2r— 22) E* A⁴(Nie‿ Je21) +(aer ass)(Ti-)εaee(τ½— 2271) 14(æ-— 22)— àa(T—) a(2— 221)= 0O. +(ass— an)(i Ne)SE ds(Te 291) ae(Tr‿2) àι(⁷i‿— N½) e 4(æℳe=2„½) Wir haben drei Flächen dritten Grades 6, 7, 8 bestimmt, denen die gesuchten reflectierenden Punkte ebensowol angehören müssen, wie den durch die Gleichung 1 und 9 repräsentierten Flächen zweiten Grades.
Aus der Entstehungsweise der sämmtlich durch den Mittelpunkt der Fläche 1 gehenden Flächen 6, 7 und 8 können wir ersehen, dass sich dieselben nicht in einzelnen Punkten, sondern in einer Curve schneiden. Um die Beziehungen der Flächen 6, 7 und 8 zur Fläche 9 zu erkennen, wollen wir, der bequemeren Rechnung wegen, die Form derselben betrachten, welche sich auf eine Fläche 1 mit Mittelpunkt bezieht. Wir haben dann (114= d.24= d34= 0, da=— 1 2u setzen und erhalten aus 1, 6, 7, 8 und 9 bezüglich:
1 æ) an E2- e, ,2, 1= 0, 6 G)(au— aer) au(xι+₰ x) F²*(au 422) d22(VI+ N2) E„2(à— G22) 4ss(21 4 22) 8 ⁸ — au(æν⁹½ æ2„91)**+ 2[(Mer a) A1αν(ισσ‿— H1 ½) IE* a⁴‿ςiεναꝓν εενεςι— 0, Gee=(r he I- A2 h1) 7 a2g ags(l2½ ee) 72. K(91 e) E Ae(*1 2) 7 7a)(Meer— dss) des("i+ 2) 12 8(aezs— ass) 4ss(21+ 22) 12(Mee— dss) ai(r ‿) 5 — aen(hrae“21)* 2(ags— 22] †*r dss("iN2 2122) E d d1(Q⁴ν+‿ ε2 να) ‿=”0, as32(viεν † 2 21) 82+ ags a("1+£ ½ 1) CE † der(21+ 22) 1—(1+ 92) 8 1*