stets dem absoluten Gliede—(½4)2+ B gleich, nach welchem Gesetze die Curve construirt worden ist. Rückt man die Ordinate um ½4 nach links, so dass O der Anfangspunkt des Coordinatensystems wird, und æ= æ,+ 14 ist, dann geht die Gleichung(9) über in 9=( 14)2—(14)1 †. (10) v= r— 4a. †. B,
Rückt man dagegen die Ordinate um ½4 nach rechts, dass æ= æ,— 14 und P der
Anfangspunct der Coordinaten ist, so ist
(11) g= 14+ 5, Die Gleichungen p= ær Aa.. 6
repräsentiren daher ein und dieselbe Curve, die von dem absoluten Gliede ganz unabhängig ist, und deren Krümmung allein von dem Coefficienten von α abhängt. Ja legt man dieselbe Einheit zu Grunde, so ist für alle Gleichungen des zweiten Grades die Curve ein und dieselbe. Die Linie, deren Werth dem Coeffizienten von æ entspricht, ist dann so zwischen die Curve einzutragen, dass sie senkrecht zur Axe M,M, steht. Durch einen der Durchschnittspuncte mit der Curve ist die Ordinate zu legen, für ein positives 4 durch den Durchschnittspunct rechts, für ein negatives 4 durch den Durchschnittspunct links von der Axe. Trägt man nun das absolute Glied auf dieser Ordinate ab, wenn es positiv ist, unterhalb der Linie 4, wenn es negativ ist oberhalb der Linie 4A, so sind auf der der durch den Endpunct gehenden Abscisse die Wurzeln der Gleichung dargestellt. Man sieht daraus, dass bei einem negativen B, wenn B auch noch so gross sein sollte, immer zwei reelle Wurzeln der Gleichung vorhanden sind, die entgegengesetzte Vorzeichen haben; ist A positiv, so ist die grössere Wurzel negativ, die kleinere positiv; ist 4 negativ, so ist es umgekehrt. Ist das absolute Glied positiv und grösser als die Entfernung des Punctes M, in der Axe von der Linie 4, so wird die Curve von der Abscisse nicht durchschnitten und beide Wurzeln sind imaginär.
Ist BH= MIM),, so sind die beiden Wurzeln einander gleich; denn die Abscisse geht durch M, und trifft die Curve nur in diesem einen Puncte. Ist B= als MM,,, so sind die Wurzeln gleichzeitig positiv oder negativ, je nachdem die Ordinate links oder rechts von der Axe liegt. Ist B= o, so fällt die Abscisse mit der Linie 4 zusammen; die eine Wurzel ist = o, die andere=+ A oder— 4. Auch erkennt man sofort aus der Figur, dass die Summe der Wurzeln stets=— 4, und ihr Product= B ist.
2. Goniometrische Berechnung
der Wurzeln der numerischen quadratischen Gleichungen.
I. Methode. 1) Ist die Gleichung 4+ acr— 5b= 0 gegeben, so ist nach(5)