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IV. Auflösung durch das Harmonische Mittel. Bezeichmet man das Harmonische Mittel der beiden Wurzeln α und mit„. dann ist 2 ᷣα 2 B 9 as— 4 a„+ S9= ag+ aß 2(O)ßN—)= 5(α— 9) ce— 2— àA 5 a— 7 ax 9„ 8 A— 5(αᷣ‿)— 2 9 (M— 4)“=(æ+. 9) la+.„)— 27]= 42— 4 α—=+ /42— 45 α+=— 4 æ=— 34+(1)2— F; Ist B=(44)², oder 45— 42, So ist die Differenz der Wurzeln im Quadrat eine negative Zahl. Da aber keine reelle Zahl existirt, deren Quadrat negativ ist, so sind die Wurzeln

imaginär. Sie können in diesem Falle unter der Form«ᷣ V— 1 dargestellt werden. Dann ist

2a=— A; also αχ=— 14 A H= B; 6= B=(A) CD æ=— 44 † 195—(4h*;

Setzt man= ᷣ£ Aæ— B und versteht man unter æ die Abscisse, unter„ die Ordinate eines rechtwinkligen Coordinatensystems, so wird durch die angegebene Gleichung eine Curve zweiter Ordnung bezeichnet, die man construiren kann, wenn man für æ nach und nach die Werthe%,+ 1,+ 2,+ 3 u. s. w. einsetzt und das zugehörige„ aufträgt. Da in der

Abscisse= o ist, so werden durch die Entfernungen der Durchschnittspuncte der Curve und der Abscisse von dem Anfangspuncte der Coordinaten die Wurzeln der Gleichung 2+ A— B= 0 dargestellt. Setzt man æ= 0, so ist=— B; für æ=+ œ; wird 9=+ o. Da y positiv und negativ werden kann, so liegt die Curve auf beiden Seiten

Seiten der Abscisse, und es müssen daher für die Gleichung 2 † Ae= 5= stets zwei reelle Wurzeln existiren. Die Gleichung .(8) 9,= ,,(4)2 stellt eine Curve zweiter Ordnung dar, deren Aeste auf beiden Seiten der Ordinate gleichmässig liegen. Da für x,= o der Werth von,=—(14)2² ist, und für„,)= oder Werth von,=+ 14, so construirt man die Curve, wenn man(Fig. 1) 0P= 4A in M halbirt, und die Senkrechte MI,,=(44)2 macht. M,, O und P sind 3 Puncte der Curve. Um andere Puncte N und N. zu finden, mache man stets M, M,,= M,Na, indem die Linien unbenannte Zahlen darstellen, die auf eine beliebig angenommene Linie als Einheit bezogen werden. Verlängert oder verkürzt man die Ordinate um eine beliebige Zahl B, so dass (9) D, H=,(4²) 5 ist, so ist das Product der Wurzeln der Gleichung 4,2—(14)2 †=0