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Der Radikand lässt auch die Entscheidung zu, ob der höchste und der tiefste Punkt auf der oberen oder der unteren Halbkugel liegen; es hängt vom Vorzeichen von-(0), dem absoluten Gliede des Radikanden/(cos), ab, wie folgt:
Die dritte Wurzel sei y, sodass (S)...... †(cos)=(cos β— cs 9)(cos— cos)(co— y).
Man hat daher, wenn man die Koëfficienten von cos ϑ in(7) und(8) vergleicht,
—(cos+ cos β))— s α ας. ‧= 1, und somit
(9)......„y= l. Le a4
cos αα+ 08 (1— cos α)(1— Gs 9) cos α+ c08 ◻ nicht negativ, cos f muss daher jedenfalls positiv sein. Aus(8) folgt ferner
(10)..... 7(0)=) cos α cos F.
Haben cos α un G08 5 3 entgegengesetzte Vorzeichen, sodass cos S= 0= cos a, so ist f(0) positiv; ein negatives †(0) dagegen bedingt ο α☚☚α2 0: Die tiefste Lage des materiellen Punktes befindet sich jedenfalls auf der unteren Halbkugel; die höchste befindet sich auf der oberen, wenn(O) positiv, dagegen auf der unteren, wenn 7(0) negativ ist.
Da y— 1 und 1+† 0, also—
0 sein muss, so kann cos α+. r
Dasselbe Resultat ergiebt sich aus(6) für reelle und imaginäre—r, wenn 9= 2 gesetzt wird.
dt 7
Da cοᷣα+ 8= 0, also cos h— coοsα, so steigt der materielle Punkt nicht ebenso hoch in die obere Halbkugel hinauf, als er in die untere hinabsinkt. Ist cos= 1, also β= 0, so ist y=— 1 und(0)=— cos a; aber auch der Koéfficient von cos ²9 in(8) ist cos«=— 700) was nach(7) nur möglich ist, wenn(2) die 2-Axe ausschliesst. Der tiefste Punkt der Kugel wird also nur von dem ebenen Pendel durchlaufen.
Rechnet man die Zeit von dem höchsten Punkt an, der auf der Kugelfläche erreicht wird, bis zu einer beliebigen Lage, so erhält man aus(6)
= 0O oder sin do= 0, und nach(5) eine Drehung um
11 4V Weus„dϑ 4c......... 2, ſ, Vrcws Es ist sin 19,(ag—, 1)=—— 4(1+ 0s„)(1+ cos)(1+ y)—— sodass sich aus(5) und(6) ergiebt sin sin ſa sin ddd sin a sin„ a sin d'do. (1)).„=7 Vcos æ+‿¶ cos⁸ 9(1+ cos 9) 1 F(cos 9) 2 Veese. ws(1— 0s 9) VfF(cos ⁹)
Die Reduktion der elliptischen Integrale(11) und(12) sei hier im Anschluss an Durège, Theorie der elliptischen Funktionen, in Kürze durchgeführt. Bei der Reduktion thut die Sub- stitution.
cos α— y ki sin 20 ½. 0s β— cos (13)........ 008 9 1e S ee Sdhr
gute Dienste. Man erhält 2-.„ (19.....=VW 2 4—
c08 β— cosα cos σ— f
Hat der materielle Punkt die tiefste Lage erreicht, so ist 9= 9, sin 2= 1, also σ—= 7
sodass er von der höchsten bis zur tiefsten Lage die Zeit