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geübt hat(26); e) die mathematiſchen Zeichen kennt und mit Leichtigkeit anwendet, und(27) f) im Beweiſen leichter Lehrſätze nach Anleitung eines deutſchen Lehrbuchs ſchon Verſuche gemacht hat(28). Wer ohne dieſe Vorkenntniſſe(29) an dem Stu⸗ dium der Elemente Theil nehmen ſoll, wird trotz Talent und Anſtrengung ſchwerlich

(26.) Das Kopfrechnen, wenn gleich hier und da bis zur Uebertreibung geübt, gewährt doch einen bedeutenden Vortheil für den geiſtigeren Theil des mathematiſchen Unterrichts. An ſich iſt. dasſelbe nichts Anderes als eine Erweiterung des Zahl⸗, Anſchauungs⸗ und Behaltungsvermön gens und läßt alſo eben ſo gut Mechanismus zu, als das ſchriftliche Rechnen; allein ſchon dieſer Mechanismus hat Etwas Geiſtigeres, als der an ſinnliche Zeichen geknüpfte. Setzt man beide Rechnungsarten in Verbindung mit dem Schlußvermögen, ſo gewährt zwar die ſchrift⸗ liche Weiſe eine größere Sicherheit der Prämiſſen, folglich eine größere Genauigkeit der Re⸗ ſultate; dagegen legt die andere Methode eine größere Leichtigkeit und Lebendigkeit der Vor⸗ ſtellung der Daten in die Wagſchale, und macht auf dieſe Weiſe die ganze Funktion zum Eigenthum unſers Geiſtes, verdient folglich auch da, wo nicht die Genauigkeit des Produkts, ſondern die Richtigkeit und Geläufigkeit des Verfahrens erzweckt wird, in Schulen, den Vorzug..

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(27.) Man übergeht ſo gern im Elementarunterricht die gewöhnlichen mathematiſchen Zeichen, und doch wird es Kindern ſo leicht, iſt ihnen ſogar erfreulich, ſich an die wenigen Symbole zu ge⸗ wöhnen, während der Erwachſene es läſtig findet, ſo unwichtige Dinge— wie er meint— einzuüben, und in den nämlichen Fall kommt, wie der 20 jährige Schüler, welcher amo un mensa flektiren lernen ſoll.

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(28.) Das förmliche Beweiſen iſt mit der Geometrie eben nicht enger verbunden, als mit jeder aandern Wiſſenſchaft. Zwar kann kein Lehrſatz ohne Beweis erfunden werden, allein in wel: cher Wiſſenſchaft wäre dies anders? Nur hat jedes Alter, jede Bildungsſtufe ihre eignen Be⸗ weiſe; das Kind nimmt dieſelben aus der Anſchauung, der Knabe aus der Zergliederung der Begriffe, der Jüngling aus Analogien, der Mann aus Schlußketten, deren letzter Ring eine

nothwendige Verſtandesform,(Axiom) oder eine Erfahrung iſt.

(29.) Das beſte Vorbereizungöbuch, welches ungeſähr zu allen dieſen Kenntniſſen die Anleitung