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Figur 12. Diese Aufgabe fällt den Schülern i. a. nicht leicht, sie bietet aber die Gelegenheit, sie mit dem Begriff der Berührebene vertraut zu machen.— Durch den im Aufriß gegebenen Berührpunkt lege man den Parallelkreis, bringe diesen samt dem Berührpunkt in den Grundriß und konstruiere dort die Meridian- und die Parallelkreis- tangente. Da die Berührebene durch ein Quadrat abgegrenzt werden soll, in dessen Mitte der Berührpunkt liegt, wird man im Grundriß auf der Parallelkreistangente vom Be- rührpunkt nach beiden Seiten die als gegeben anzusehende halbe Mittellinie des Quadrats abtragen und die erhaltenen Endpunkte in den Aufriß bringen. Läßt man den angegebenen Punkt(im Aufriß) seinen Parallelkreis durchlaufen, so beschreibt die(noch unbekannte) Meridiantangente einen Drehkegel, der die Erdachse zur Achse und den Parallelkreis zum Grundkreis hat; am Rande fällt die Meridiantangente mit der Tangente des Umriß- kreises zusammen. Durch Einsetzen dieser Tangente findet man die Kegelspitze auf der verlängerten Erdachse und damit auch die gesuchte Meridiantangente(der Meridian- kreis selbst kann unterdrückt werden). Um die halbe Mittellinie auf der Meridiantangente abzutragen, muß man diese an den Rand drehen. Bei der Rückbewegung beschreiben die erhaltenen Endpunkte Kreise, die auf der Tafel senkrecht stehen und daher wie der Parallelkreis als Geraden erscheinen, senkrecht zur Drehachse. Schließlich hat man die auf der Meridiantangente abgetragene Strecke in den Grundriß zu bringen, und das Bild des Quadrats ist in Grund- und Aufriß durch seine Mittellinien festgelegt.

Spieker konstruiert in seinem Lehrbuch der Stereometrie§ 108 auf der durch die Spitze und den Grundkreis des Kegels gelegten Kugel den(im Innern des Kegels gelegenen) Pol des Grnndkreises und verbindet ihn mit der Kegelspitze; die Spiegelung an der so gefundenen Hauptachse des Kegels(dort Mittellinie genannt) führt dann den Grundkreis in einen Wechselschnitt über.

Heußel hat in einem Aufsatz„die stereographische Projektion und ihre Anwendung auf die konstruierende Kugelgeometrie“(Z. f. math. u. nat. Unt. Jahrg. 44, S. 245) ein einfaches Verfahren angegeben, um auch die Seiten eines Kugeldreiecks i. w. Gr. aus der stereographischen Projektion zu finden. Wo es sich um die Darstellung der Kugel als Ganzes handelt, und das dürfte für die darstellende Geometrie i. a. der Fall sein, gibt der Verfasser indessen selbst der senkrechten Projektion den Vorzug.

Figur 13. Hier ist wieder der Kreuzriß gespart, indem die zunächst senkrecht zum Aufriß angenommene Schnittebene nachträglich um 90“° gedreht wurde. Die Schnittellipse bildet sich also zunächst im Aufriß durch ihre große Achse ab. Um die kleine Achse zu erhalten, lege man im Aufriß durch die Mitte der Ellipse den Parallel- kreis und bringe ihn in den Grundriß; dann bringe man die kleine Achse in den Grund- riß, die dort als Sehne dieses Kreises i. w. Gr. erscheint und zugleich die kleine Achse der Grundrißellipse ist(das Bild der Kegelspitze ist Brennpunkt dieser Ellipse). Das Grund- rißbild der großen Achse ist die große Achse der Grundrißellipse. Bei der Drehung um 90° bleibt der Grundriß sich selbst kongruent, im Aufriß erscheint jetzt die kleine Achse der Schnittellipse i. w. Gr., während die große Achse sich so stark verkürzen kann, daß sie zur kleinen Achse der Aufrißellipse wird. An den Rand rücken wieder die beiden Punkte, die vor der Drehung auf der vordersten bezw. hintersten Kegel- erzeugenden lagen. Die Figur gewinnt an Plastik, wenn man einige Erzeugende(12 Teilung des Grundkreises) einsetzt, das abgeschnittene Stück des Kegels wegnimmt und die Schnittfläche nach Höhenlinien schraffiert. Der Uebergang der Schnittkurve von der sichtbaren auf die verdeckte Seite des Kegels geht dabei allerdings verloren.