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die Scheitel der kleinen Achse ergeben sich aus der Umlegung; neu ist die Bestimmung der Punkte, in denen der Umriß berührt wird, eine Aufgabe, die u. a. in Figur 13 wieder-— kehrt. Der Schüler ist schon bei Figur 10 darauf hingewiesen, daß eine Linie von der sichtbaren auf die verdeckte Seite der Kugel gelangt, indem sie den Umriß berührt. Die Berührpunkte sind diejenigen, die im Kreuzriß auf dem zur Tafel senkrechten Meridian-— kreis liegen. Nimmt man den Pol um 23 ½°⁰ vom Umriß entfernt an, so kann man die Figur als Bild der Erdkugel ansehen, betrachtet von der Sonne zur Zeit der Sommersonnen-— wende; die Parallelkreise der nördlichen kalten Zone sind dann ganz sichtbar, die der gemäßigten und der heißen Zonen nur zum Teil. Nähert man sich dem Pol, so rücken die beiden Berührpunkte näher zusammen, bis sie im höchsten Punkt sich zu vierpunktiger Berührung zusammenfinden; der Umriß ist also für den Polarkreis der Krümmungskreis im Scheitel der kleinen Achse. Nun erscheint die große Achse 2a im Kreuzriß als Sehne des Umrißkreises, die kleine Achse 2b als Projektion dieser Sehne auf den Durchmesser 2r; daher ist(2a)“= 2b. 2r, oder r=b—

Die folgende Aufgabe benutzt den seitherigen Kreuzriß als Aufriß und verlangt den zugehörigen Grundriß; dabei verwendet man passend die Polhöhe des Schulorts als ZN, um den Grenzkreis der zirkumpolaren Sterne zu erhalten.

Soll der Meridiankreis durch einen im Aufrißbilde(nur eine Tafel nötig) gege— benen Punkt gelegt werden, so findet man die Ellipsentangente(vergl. Fig. 12) aus dem Drehkegel, der die Erdkugel längs des betr. Parallelkreises berührt; die Ellipse ist bestimmt als affines Bild des Umrißkreises; das Affinitätsverhältnis ist aus dem Parallel-— kreis auf den Aequator zu übertragen, um die kleine Achse der Meridianellipse zu finden. Man könnte auch entsprechend wie in Figur 8 und 9 verfahren, indem man in der Umlegung(im Grundriß) den Parallelkreis auf den Aequator ähnlich abbildet.

Soll man durch zwei beliebig im(Aufriß-) Bild der Erdkugel gegebene Punkte den Großkreis legen“*, so kann man entweder durch Drehung um die Erdachse einen der beiden Punkte an den Rand bringen, oder man schneidet die beide verbindende Kugelsehne mit der durch die Kugelmitte gelegten Tafel; der nach dem Schnittpunkt gezogene Kugeldurchmesser ist dann die große Achse der gesuchten Bildellipse, so daß die Aufgabe auf die vorhergehende zurückgeführt ist. Der Schnittpunkt jener Sehne mit der Tafel wird dadurch gefunden, daß man die diese Sehne projizierende Ebene samt dem durch sie ausgeschnittenen Kreis in die Tafel umlegt und die Umlegung der Sehne mit ihrem Aufrißbild schneidet.

Während ich diese Zeilen schreibe, kommt mir ein Aufsatz von Dr. K. Wörner zu Gesicht, der dieselbe Aufgabe behandelt(Unterrichtsblätter 1913, S. 130). Dort wird zu der im Aufriß gegebenen Figur ein Grundriß konstruiert und die Großkreisebene„in der üblichen Weise durch ihre Spuren festgelegt.“ Eine Spur genügt; anstatt aber die Aufrißspur zu nehmen, deren Richtung gesucht ist, wird die Grundrißspur ermittelt, während in Wahrheit der Grundriß gänzlich überflüssig ist. Man sieht aus diesem Beispiel, wie wenig sich die„Grundaufgaben“ zum Entwurf der einfachen Figuren eignen, die im Schulunterricht fast ausschließlich in Betracht kommen. Auch in der Analysis neigen wir Mathematiker ja dazu, allgemeine Methoden anzuwenden, wo man mit weit einfacheren Hülfsmittel auskommen könnte. An der Rechnung lassen sich aber wenigstens nach- träglich„Vereinfachungen“ anbringen, die der Eigenart der Aufgabe entsprechen, was bei einer einmal unzweckmäßig angefaßten Konstruktion nicht möglich ist.

. Vergl. die Bemerkung zu Figur 17 Nr. 32.

Hauck, Hoffmanns Zeitschrift Bd. 29, 1898.