Figur 8 weicht insofern von der üblichen Darstellung ab, als manche in der einen Tafel angegebenen Stücke in der anderen unterdrückt sind. Diese Abweichungen sind in der Besonderheit der Aufgabe begründet, die verlangt, daß man plediglich durch Ziehen von Geraden und Kreisen“ das Gestirn S aus den gegebenen Stücken a undh eintragen und die auf den Aquator bezogenen Koordinaten d und t i. w. Gr. ermitteln soll. Man trage h im Aufriß am Rande i. w. Gr. ab, ziehe den Höhenkreis und übertrage ihn in den dem Horizont parallelen Grundriß; dort ist dann a einzutragen, und aus dem so gewonnenen Grundrißbild von S ist das Aufrißbild zu finden. Zieht man im Aufriß den Aquator und den Bahnkreis des Gestirns, so ergibt sich 8 am Rande i. w. Gr., und die Projektion auf einen dem Aquator parallelen Grundriß liefert schließlich t.

Figur 9. Ein rechtwinkeliges Kugeldreieck aus einer Kathete a und deren Gegenwinkel a zu konstruieren.

Man trage die gegebene Kathete a am Kugelumriß i. w. Gr. ab: CB= a; die Ecke A ist dann auf dem durch C senkrecht zur Tafel gelegten Großkreis zu suchen, der in der Figur rechts durch den wagerechten Durchmesser abgebildet ist und kurz als„Horizont“ bezeichnet werden möge. Im vordersten Punkt Ao der Kugel trage man nun den Winkel a an(nach CB hin geöffnet), d. h. man lege durch den senkrecht zur Tafel stehenden Kugeldurchmesser die Ebene, die mit dem Horizont den Winkel a einschließt. Der so gefundene Großkreis wird nicht durch B hindurchgehen, dagegen enthält er i. a. zwei Punkte B', B“, die mit B auf demselben Höhenkreis spiegelig zur Tafel liegen. Jeder derselben gelangt durch Drehung um die Scheitellinie nach B, und zwar sind beide Drehungen entgegengesetzt gleich; unterwirft man nun den ganzen Kreis A B' B' diesen Drehungen, so kann man aus dem Bogen, den B' bezw. B“ beschreibt, auch den Bogen ermitteln, den Ao auf dem Horizont überstreicht und findet so den gesuchten Eckpunkt in Ai bezw. Az.(Da die beiden durch BAi rund BAz bestimmten Großkreise zur Tafel spiegelig sind, haben sie ein und dieselbe Ellipse zum Aufrißbild, indem die sichtbare Hälfte des einen auf die verdeckte des anderen Kreises fällt.)

Soll die Aufgabe reelle Lösungen haben, so muss der höchste Punkt des Kreises Ao B' B“ mindestens so hoch liegen wie B, also sin« z sin a; damit aber die Seiten des Dreiecks weniger als 180“ betragen, darf die Drehung, die B' nach B führt, den Winkel von 90“ nicht erreichen, daher die Bedingung, daß a und« gleichartig in Bezug auf 90° sein sollen. Die bei dem rechnerischen Verfahren notwendige Entscheidung, ob die Hypotenuse c spitz oder stumpf zu nehmen sei, wird hier erspart, da man aus dem Bilddreieck alle Stücke i. w. Gr. eindeutig entnehmen kann. Die Durchnahme vor- stehender Konstruktion dürfte dem Schüler in anschaulicher Weise vor Augen führen, wie eine in der Ebene eindeutige Aufgabe auf der Kugel doppeldeutig wird, indem eine Drehung anstelle der Parallelverschiebung tritt.

Figur 10. Durch den im Innern des Kugelumrisses gegebenen Pol N ist der Großkreis gelegt, der auf der Tafel senkrecht steht und daher als Durchmesser erscheint. Der zu diesem senkrechte Durchmesser ist die große Achse der Aequatorellipse; um den Scheitel der kleinen Achse zu finden, hat man von N aus auf dem gezeichneten Großkreis um 90“ weiter zu gehen. Diese Konstruktion kann man im Kreuzriß ausführen, oder man kann, wie in der Figur geschehen, den durch N gelegten Großkreis um den zur Tafel parallelen Durchmesser an den Rand drehen und dort um 90˙ weiterschreiten. Die kleine Achse der Aquatorellipse ergibt sich dabei gleich der kürzesten durch N gehenden Kreissehne.

Figur 11. Hier soll anstatt des KXquators ein Parallelkreis konstruiert werden, der in der Umlegung(im Kreuzriß) gegeben ist. Die Länge der großen Achse sowie