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der darstellenden Geometrie im engeren Sinne bleibt aber noch viel zu tun übrig, um sie aus ihrer Isolierung zu befreien; jedenfalls ist die Verwandtschaft unseres Fachs mit der Stereometrie viel inniger als der Zusammenhang mit der analytischen Geometrie, die auf der Schule im wesentlichen ebene Gebilde zum Gegenstand hat und diese auf rech- nerischem Wege behanqdelt.

Die Ebene kann auch in anderer Weise als durch ihre Spuren gegeben sein; vgl. E. Müller, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Band I, S. VI u. S. 41. Teubner 1908.

Bei der freien Affinität(wie der freien Perspektive) ist der Schüler weit mehr als bei dem gebundenen Verfahren darauf angewiesen, die Eigenschaften der abzu- bildenden Figur und die Gesetze der Abbildung sich vor Augen zu halten; daher ver- dient diese Betrachtungsweise in der Schule den Vorzug. Hat man insbesondere punkt- spiegelige Figuren abzubilden, so wird man zunächst das affine Bild der Mitte aufsuchen, um dann aus einer Hälfte der gesuchten Figur die fehlende zu ergänzen.

Figur 15, in der man sich für diese Stufe den Schatten wegdenken muß, kommt folgendermaßen zu Stande: Alle Kanten des Würfels haben gleiche Neigung zur Grund- rißtafel; ihre Grundrißbilder sind also gleich lang, und die Höhenunterschiede ihrer Enden sind ebenfalls gleich. Die Grundrißbilder der von dem tiefsten Punkt ausgehenden Kanten sind also Halbmesser eines Kreises, der um diesen Punkt beschrieben ist; die freien Enden dieser Kanten liegen gleich hoch, die sie verbindenden Flächendiagonalen erscheinen also i. w. Gr. und bilden ein gleichseitiges Dreieck. Spiegelt man die vier bis jetzt dargestellten Ecken an der Mitte des Würfels, die im Grundriß mit der Kreis- mitte zusammenfällt, so erhält man die fehlenden Ecken, bzw. deren Grundrißbilder. Für die Konstruktion des Grundrisses empfiehlt es sich, die Grundrißprojektion der Kante als gegeben anzunehmen; man findet dann die Kante selbst aus einer der i. w. Gr. er- scheinenden Flächendiagonalen. Die Körperdiagonale ergibt sich schließlich als Hypotenuse des rechtwinkeligen Dreiecks, das die Kante zur einen, die Flächen- diagonale zur anderen Kathete hat. Um den Aufriß zu finden, sind die Höhen der einzelnen Ecken nötig; es kommen vier Höhenschichten vor. Da man von einer Schicht zur nächsten auf einer Kante gelangen kann, sind die Höhenunterschiede gleich; man hat also die Körperdiagonale in drei gleiche Teile zu teilen. Vergleiche die Be- handlung der regelmäßigen Körper bei Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Bd. I, S. 128 ff. Leipzig, Teubner 1884, wo aus der Beziehung dieser Körper zu einander einfache Konstruktionen abgeleitet sind.— Die Durchdringung der beiden einem Würfel eingeschriebenen Tetraeder läßt sich leicht auch im Schrägbild darstellen.

Die Aufgaben über die Kugel* können zum größten Teil im mathemathischen Unter- richt erledigt werden. Sie lassen sich in einer Tafel durchführen unter Benutzung einer Umlegung, wie ich das in meiner unter 5 erwähnten Arbeit über Kugelgeometrie ausführlicher als es hier geschieht, angegeben habe. Man benutzt dabei die Tatsache, daß die Kugel aus jedem ihrer Großkreise durch Drehung um einen beliebigen Durchmesser erzeugt werden kann. Im Interesse der Konzentration sollte die darstellende Geo- metrie auf den mathematischen Lehrstoff eingehen, insoweit es ohne Zwang geschehen kann. Auch schadet es nichts, wenn gelegentlich Projektionen auf eine Tafel, i. a. die Aufrißtafel, vorgenommen werden, wie die in Fig. 9, 10 und 11 dargestellten. Die Bildtafel verlegt man in diesem Fall in eine Symmetrieebene des darzustellenden Körpers.

* O. Richter, Kreis und Kugel in senkrechter Projektion(Leipzig, Teubner 1908) gibt zahlreiche Aufgaben.