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recht auf der Berührebene steht, so daß die Schnittfigur als Stück einer geraden Linie erscheint, hat die Abwickelung einen Wendepunkt; rollt man den Zylinder um 90⁰ weiter, so bildet sich die Schnittellipse in einen Kreis ab, da ihre beiden Achsen gleichlang erscheinen. Diese Betrachtung liefert für die Abwickelung die Wendetan- gente und die Krümmung im Scheitel, denn nach H. Wiener* hat die Projektion der Schnittkurve auf die Berührebene stets dieselbe Krümmung wie die Abwickelung an der betreffenden Stelle.— Aus dem planimetrischen Unterricht bringen die Schüler viel- fach die Anschauung mit, daß eine Tangente nicht schneiden könne; man läßt, um dieser Auffassung zu begegnen, die Wendepunktstangente aus einer durch den Wendepunkt gelegten Sekante hervorgehen. Die beiden zum Wendepunkt spiegeligen Schnittpunkte rücken dabei in diesen hinein, sodaß die Wendetangente drei auf einander folgende Punkte mit der Kurve gemein hat. Es mögen hier noch einige Bemerkungen Platz finden, die im Unterricht erst an späterer Stelle verwandt werden können.

Hat die Schnittebene eine andere Neigung(als 45 ⁰), so entsteht eine der Sinuslinie affine Kurve, deren Krümmung mit derjenigen der Ellipse übereinstimmt, die sich durch Projektion der Schnittellipse auf die Berührebene des Punktes ergibt(vgl. oben).

Soll lfür den Zylinder oder für den Kegell die Tangente der Schnittkurve oder der Abwickelung bestimmt werden, so benutzt man den Punkt, den die Schnittebene, die Berührebene der Fläche und die Grundrißebene gemein haben; von den drei Schnittkanten der 3 Ebenen sind die in der Berührebene liegende Tangente des Grundkreises und die Grundrißspur bekannt, die dritte ist die gesuchte Kurven- tangente. Trägt man auch in die Abwickelung die betr. Kreistangente ein samt dem Punkt, in dem sie von der Spur getroffen wurde, so hat man auch in der Abwickelung einen Punkt der Kurventangente.

Die Abwickelung des schiefen Kegels gehört nicht in die Schule, die des schiefen Zylinders kann nur als wahlfrei in Betracht kommen. Der senkrecht zu den Zylindererzeugenden gelegte Schnitt wickelt sich geradlinig ab; man vertausche daher Grundkreis und Normalschnitt und betrachte den Körper als einen geraden ellip- tischen Zylinder, der in der Kreisebene schief abgeschnitten ist. Nachdem man die Ellipse empirisch rektifiziert hat[Probe: der Umfang muß zwischen den Umfängen der beiden Kreise liegen, die über den Achsen als Durchmesser beschrieben werden könnenl, verfahre man wie bei dem geraden Kreiszylinder.

P. A. N. 20 u. 21.— Auf dieser Stufe wird es an der Zeit sein, den Richtkegel sowie den Krümmungskreis im Scheitel zu benutzen. Läßt man die Schraubenlinie unter 45⁰0 aufsteigen(Höhe des Schraubenganges gleich Umfang des Schrauben- zylinders), so erhält man wieder die Sinuslinie.

Die Kartenentwürfe bilden keinen einheitlichen Stoff, wie jede darstellend geo- metrische Methode, zu deren Einübung man zudem eine schier unbegrenzte Menge von Aufgaben bereitzustellen vermag. In der darstellenden Geometrie können sie nur inso-— weit Platz finden, als es sich um Abbildung großer Teile der Erdkugel handelt, da die Netze einzelner Länder rein rechnerisch entworfen werden. Manche flächentreue Entwürfe schließen unmittelbar an die dem mathematischen Unterricht zufallenden Flächenberech- nungen an. Die geometrisch interessanten Begriffe der Loxodrome und der geodätischen Linie findet man bei Müller und Preßler, Projektionslehre in mustergültiger Weise behandelt. Ich möchte daher nur auf eine Aufgabe aufmerksam machen, die bessere

* Diesen Satz verdanke ich einer mündlichen Mitteilung des Herrn Wiener.