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gabe, der Pythagoräische Lehrsatz und die Krümmung der Ellipse behandelt. Daran schlossen sich Systeme von Kegelschnitten, die vier Bedingungen genügen, sei es, daß Punkte oder Tangenten festgelegt sind. Der Büschel, der gemischte Büschel, die Büschelschar, die gemischte Schar und die Schar von Kegelschnitten kamen mit reellen oder paarweise imaginären, in verschiedener gegenseitiger Lage befindlichen Grundele- menten zur Darstellung. An den Stellen, wo der das System beschreibende Kegel- schnitt wichtige Grenzlagen durchschreitet, blieb die Figur für einen Augenblick stehen, sodaß man sie an Hand der begleitenden Erläuterungen in aller Ruhe verfolgen konnte.

Im Vergleich mit einem so ausgezeichneten Lehrmittel erscheinen die neuerdings empfohlenen Kinohefte doch als recht mangelhafte Notbehelfe, zumal im Massenunter- richt, wo es nötig ist, die Aufmerksamkeit auf eine bestimmte Erscheinung zu lenken und durch Zwischenfragen die Auffassung der Schüler zu prüfen. Endlich ist als be-— sonderer Vorzug des Kinobildes hervorzuheben, daß es Demonstrationen zuläßt, die dem Experiment in den Naturwissenschaften gleichkommen: man bringt auf dem Pro- jektionsschirm feste Gebilde an(Punkte, Geraden, Kreise u. s. w.) und stellt dann die Anzahl der dem festen und dem beweglichen Gebilde gemeinsamen Elemente fest, oder man betrachtet die Aenderung dieser Elemente. Würde man z. B. dem das Kreis- büschel(Fig. 1) durchlaufenden Kreis die beiden Grenzpunkte samt ihrer Verbindungs- linie als festes Stück hinzufügen, so würde der laufende Kreis nach einem Satz der Elementargeometrie alle zu den Grenzpunkten harmonischen Paare ausschneiden, d. h. man könnte sehen, wie ein Punkt mit seinem zugeordneten die Involution durchläuft, deren Doppelpunkte die Grenzpunkte sind. Ferner kann man entscheiden, wieviel Kreise eines Büschels eine beliebige feste Gerade berühren; die nicht berührenden Kreise schneiden wieder die Paare einer Involution aus, deren Ordnungspunkte die beiden Berührpunkte sind. Bei einem Kreisbüschel mit reellen Grundpunkten können die Berührpunkte und damit die Ordnungspunkte der Involution auch imaginär werden, während auf einer dureh einen Grundpunkt gelegten Geraden alle Punkte diesem einen involutorisch zugeordnet sind.

Ein genaueres Eingehen auf das Maßwerk und auf die Einführung in die schiefe Projektion, auf die Behandlung des Umrisses u. s. w. erübrigt sich durch den Hinweis auf meine oben erwähnte Programmarbeit, in der ich zu diesen Fragen Stellung genommen

habe.

Schon im planimetrischen Unterricht ist die Betrachtung von Anwendungen nützlich, besonders wenn sie einen Ausblick auf das Räumliche gewährt. Der in Figur 3 in Grund- und Aufriß dargestellte Dachreiter wird bei flüchtiger Betrachtung in der Natur oder in der Photographie manchem Schüler als sechsseitige Säule erscheinen, obwohl die Fortführung der Seitenflächen über die Grundfläche des Turmhelms hinaus auch die stark verkürzten, unter Umständen zur Linie zusammenschrumpfenden Seitenflächen deutlich erkennen läßt. Bei der zeichnerischen Wiedergabe des„Fußbodens“ der in Figur 4 und 18 dargestellten Kapelle findet man die Mitte des Achtecks nicht selten falsch angegeben, nämlich anstatt in der Mitte einer Hauptdiagonale, in der Mitte der Nebendiagonale, die der den Chor abschließenden Achteckseite parallel läuft.

P. A. Nr. 20 und 21.

Man muß sich über die Tatsache klar sein, daß es für die Betrachtung der Kegel- schnitte mehrere, wesentlich von einander verschiedene Auffassungsweisen gibt.