Durch eine Teilung des Zeichenbogens, wie sie im Lehrplan empfohlen wird, erreicht man in kürzerer Zeit einen Abschluß und vermeidet, daß die Schüler beim Ausziehen auf weit zurückliegenden Lehrstoff stossen, was besonders bei einstündigem Unterricht leicht vorkommen könnte. Sollte das Austuschen einer einzelnen Figur mißraten, so wäre bei der gedachten Teilung des Bogens der Schaden leichter gut zu machen; würde man aber andererseits aus diesen Gründen zu einem kleineren Reißbrett greifen, so würde man sich ohne Not der wünschenswerten Bewegungsfreiheit be- rauben.— Jedes Blatt soll einen einheitlichen Stoff behandeln; schöne Anordnungen gibt M. Richter, das geometrische Zeichnen in der Realschule, eine methodische Studie. Jahresbericht der I. Städtischen Realschule zu Leipzig 1901 Nr. 618.

Jeder Kreis des Büschels geht durch Umklappung um die gemeinsame Zen— trale in sich und durch Spiegelung an der im Büschel enthaltenen Geraden in einen anderen Kreis desselben Büschels über. Da beide Spiegelachsen auf einander senk- recht stehen, ist die Figur auch zu dem Schnittpunkt der beiden Geraden spiegelig, weil die Folge der Spiegelung an zwei senkrechten Geraden die Spiegelung an ihrem Schnittpunkt ergibt. Dieser einfache Satz, der ein„geschlossenes Spiegelsystem“, also eine„Gruppe“ von Abbildungen betrifft, sollte im planimetrischen Unterricht nicht fehlen.

Bei dem Entwurf des Kreisbüschels mit reellen Grundpunkten gehe man von der in ihm enthaltenen Geraden aus und richte es so ein, daß die Kreise gleiche Winkel miteinander bilden(etwa solche von 30 ⁰). Durchläuft ein Kreis das Büschel, ausgehend von der in ihm enthaltenen Geraden, so biegt sich diese Gerade zum Kreis, die Krüm- mung wird stärker und stärker und ist am größten für den Kreis, der den Abstand der Grundpunkte zum Durchmesser hat. Nach Ueberschreiten dieser Lage wird die Krüm-— mung des laufenden Kreises wieder schwächer, bis schlißlich die Gerade von der anderen Seite wieder erreicht wird.

Figur 1 greift aus den 002² Kreisen, die einen gegebenen Kreis senkrecht treffen, diejenigen heraus, deren Mitten auf einer Zentrale des gegebenen Kreises liegen; sie treffen auch die Zentrale senkrecht und somit alle Kreise des Büschels, das durch die Enden des gegebenen Durchmessers gelegt werden könnte. Die gesuchten Kreise bilden auch ein Büschel, dessen Grundpunkte aber imaginär sind, und das die reellen Grundpunkte des ersteren zu Grenzpunkten hat. Schneidet man eine be- liebige Tangente des gegebenen Kreises mit der gegebenen Zentrale, so gehört der um den Schnittpunkt mit dem Tangentenabschnitt als Halbmesser beschriebene Kreis dem System an; den der Zentrale parallelen Tangenten entspricht eine Gerade als Kreis mit unendlich großem Halbmesser. Durchläuft man, von dieser Geraden aus-— gehend, das ganze Büschel, so biegt sich die Gerade zum Kreis, die Krümmung wird stärker und stärker, bis der Halbmesser die Länge Null erreicht in dem Augenblick, wo die Kreismitte in den Grenzpunkt rückt. Den im Innern des gegebenen Kreises gelegenen Mittelpunkten entspricht kein reeller Kreis; sobald aber die Kreislinie im zweiten Grenzpunkt abermals überschritten wird, quillt der Kreis aus dem Schnittpunkt heraus, und die Bilder wiederholen sich in umgekehrter Folge.

Sehr lehrreich sind kinematographische Darstellungen derartiger Vor-— gänge, wie sie Herr Geheimrat Münch in einem naturwissenschaftlichen Fortbildungs- kurs in Darmstadt(Juli 1911) vorgeführt hat.*) U. a. wurden die Apollonius'sche Auf-

* Im folgenden benutze ich Material, das mir Herr Geheimrat Münch in liebenswürdigster Weise zur Verfügung gestellt hat.