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thematische Unterricht etwa in Obersekunda der freien Affinität einen kleinen Raum gäbe: Die Ellipse, als affines Bild des Kreises behandelt, würde die erwähnte Lücke ausfüllen. Vergl. auch Weber-Wellstein, Enzyklopädie der Elementarmathematik, Band III, S. 23, Teubner 1912.— Gerade die Affinität aber pflegt man im mathema- tischen Unterricht zu übergehen, auch bei Weber und Wellstein ist sie bezeichnender Weise den„Anwendungen“ beigezählt. Und doch ist es pädagogisch nicht zu recht- fertigen, wenn man auf Kongruenz und Aehnlichkeit, d. h. auf die Erörterung der Eigen- schaften, die bei der Projektion einer Ebene auf eine zu ihr parallele Tafel ungeändert bleiben, unvermittelt projektive Gebilde folgen läßt, d. h. solche, die gegenüber der Zentralprojektion einer Ebene auf eine sie schneidende Tafel invariant sind; es fehlt das natürliche Bindeglied, die Parallelprojektion einer Ebene auf eine sie schneidende Tafel. Die Kenntnis dieser Verwandtschaft würde für die Schule völlig ausreichen und sich unterrichtlich weit gründlicher durcharbeiten lassen als jene ganz allgemeine Methode.

So ist z. B. das bekannte Verfahren, nach dem ein Kreisbild ohne vorherige Ab- schätzung der zu erwartenden Gestalt und Größe durch Projektion von etwa 12 Punkten gewonnen wird, weder geeignet, eine Vorstellung von der Bildkurve zu erwecken, noch auch eine gute Figur zu liefern. Man sollte vielmehr die Bildkurve „bestimmen“; handelt es sich, wie wir zunächst annehmen wollen, um senkrechte Pro- jektion, so entsteht eine Ellipse, deren große Achse mit dem Kreisdurchmesser über- einstimmt; nach Ermittelung der kleinen Achse ist das Kreisbild eindeutig festgelegt, und alle„überzähligen“ bekannten Stücke sind einzupassen, bezw. zur Nachprüfung zu verwenden. Denn infolge der unvermeidlichen Konstruktionsfehler werden bei Projek- tion von 12 Punkten eines Kreises, deren 5 die Ellipse bestimmen, die 7 übrigen nicht auf derselben Ellipse liegen, ebensowenig wie man etwa die Projektion einer Geraden aus den Projektionen von 12 ihrer Punkte ableiten könnte. Man muß stets eine zur Bestimmung gerade ausreichende Anzahl von Stücken auswählen und man wird die Auswahl so treffen, daß eine möglichst große Genauigkeit erzielt wird; insbesondere strebe man danach, die Symmetrie der Figuren richtig wiederzugeben, weil Fehler gegen diese Gesetze sehr störend wirken.

Bei der schiefen Projektion des Kreises ist ein Parallelogramm gegeben, dem die Bildellipse konjugiert eingeschrieben ist; man vervollständige die Figur zum Sternachteck [vgl. Anm. 15 sowie meine frühere Programmarbeit No. 30.] und setze die Achsen- richtungen schätzungsweise ein. Bei Schattenkonstruktionen kann man geradeso ver- fahren; wenn allerdings nur ein kleines Stück der Ellipse gebraucht wird, reicht man mit geringerer Genauigkeit aus. Ueberhaupt soll nicht gesagt sein, daß man nicht unter bestimmten Umständen ein anderes Verfahren einschlagen könnte. Tritt die Ellipse als Zentralprojektion des Kreises auf, so ist ein Trapez gegeben, dessen Grund- linien in den Mitten von der Ellipse berührt werden; man kennt also einen Durch- messer samt den Tangenten in seinen Enden. Spiegelt man die Seitenlinien des Tra- pezes samt den Berührpunkten an der Mitte der Ellipse, so kennt man schließlich drei Paare paralleler Tangenten mit ihren Berührpunkten, von denen ein Paar zusammen mit einer Tangente die Ellipse bestimmen.

Man vergleiche meinen Aufsatz:„Die Kugelgeometrie in konstruktiver Be- handlung“, Unterrichtsblätter 1909 S. 15 u. 1911 S. 33, oder die Figurentafel in der von mir besorgten Neubearbeitung von Nells Logarithmentafel, Gießen, Roth 1913.