Zusätze und Anmerkungen.

Die auf planimetrische Aufgaben zu verwendende Zeit kann um so sparsamer bemessen werden, je mehr der mathematische Unterricht auf allen Stufen die fehlerfreie Ausführung geometrischer Figuren durch regelmäßige Uebungen sich angelegen sein läßt; jetzt handelt es sich vor allem darum, das Hantieren mit Reißbrett und Reiß- schiene, sowie das Austuschen zu erlernen, soweit es noch nicht geübt sein sollte. Hierzu sind aber auch Aufgaben in räumlichem Gewande dienlich und sie sind zu be— vorzugen als Vorbereitung des stereometrischen Lehrgangs[P. A. Teil II. Es wäre zu begrüssen, wenn man sich dazu entschließen könnte, das Ausziehen in Tusche auch im mathematischen Unterricht von unten herauf zu fordern; es ist wohl richtig, daß man auch in Blei saubere Zeichnungen herstellen kann, ob aber die Zeitersparnis so groß ist, wie man oft glaubt, darf doch billigerweise bezweifelt werden. Ist in den unteren Klassen erst eine gewisse Fertigkeit errungen, so wird die für das Austuschen aufgewandte Zeit wieder eingebracht durch die Mühelosigkeit, mit der man, die im stereometrischen Zeichnen besonders häufig vorkommenden Hülfslinien, sowie über-— stehende Stücke von geraden Linien und Kreisbögen entfernen kann.

Eben zu diesem Zweck müssen die Modelle aus Draht hergestellt und sehr genau gearbeitet sein. Nach diesen Gesichtspunkten sind H. Wieners und P. Treutleins Sammlungen mathematischer Modelle hergestellt; die Sammlungen werden durch beigegebene Abhandlungen in glücklichster Weise ergänzt. Als Projektionslampe ist eine solche mit Handregulator zu empfehlen; mein Kollege, Herr Prof. Hauff, hat sich mit den denkbar einfachsten Hülfsmitteln einen handlichen und durchaus brauchbaren Ap- parat hergestellt. Der Schirm, etwa 1,20 m im Quadrat, soll drehbar und in der Höhe verstellbar sein. Zur Verdunkelung reichen dunkle Vorhänge vollständig aus.

Da die Ausbildung im konstruktiven Zeichnen an erster Stelle steht, ist man be- züglich der Beweise auf die Mithülfe des mathematischen Unterrichts ange— wiesen. Die wenigen stereometrischen Sätze, die man in der darstellenden Geometrie braucht, stellt der mathematische Unterricht auch bereit, dagegen ist die Lehre von den Kegelschnitten i. a. nicht soweit gefördert, als es für unsere Zwecke zu wünschen wäre. Man geht gewöhnlich von dem geraden Kreiskegel aus und leitet mit Hülfe des Dandelin'schen Satzes die Brennpunktseigenschaften ab; gerade diese sind aber zur Konstruktion wenig geeignet(vergl. Nr. 11). Zudem tritt schon bei der Parallelpro- jektion des Kreises ein schiefer Zylinder auf[bei der Perspektive ein schiefer Kegell; um die Brennpunktseigenschaften der Schnittkurven aus dem Dandelin'schen Satz abzu-

leiten, fehlt also der Nachweis, daß jeder Kegelschnitt sich auf einen geraden Kegel loder Zylinder] legen lässt. Für den Schnitt des schiefen Zylinders ist der Beweis in

meiner früheren Arbeit Nr. 34 elementar geführt auf Grund der Tatsache, dass die Parallelprojektion einer Ellipse wieder eine Ellipse ist. Allgemein hätte man den Satz nötig, daß die Zentralprojektion eines Kegelschnitts einen Kegelschnitt liefert. Für den Beweis dieses Satzes, der oft auch im Universitätsunterricht übergangen wird, fehlt dem Schüler die Fassungskraft. Der darstellenden Geometrie wäre geholfen, wenn der ma-