— 7—

die Bestimmung der wahren Größe einer ebenen Figur. Eine systematische Behandlung der Grundaufgaben findet nicht statt; sie hätte nur dann Wert, wenn man die Lösungsmethoden so gestalten könnte, daß sie bei jeder Lage der räumlichen Objekte wirklich ausführbar wären und hinreichend genaue Ergebnisse lieferten. Dies ist aber in der Schule nicht möglich, sobald ein Schnittpunkt unzugänglich wird, oder wenn ungünstiger Schnitt entsteht u. s. w. Auf dieser Stufe und nicht im Vorkurs ist auch der Ort, auf Sonderfälle näher einzugehen, in denen das„allgemeine Verfahren“ versagt, wie bei Figuren in der Kreuzrißebene oder bei Ebenen, die zu einer Tafel oder zur Projektionsachse parallel sind u. s. w.; auch die Darstellung von Punkten, die unterhalb der Grundrißtafel oder hinter der Aufrißtafel liegen, sowie von Ebenen, die im Aufriß die Unterseite zeigen(Fig. 5 u. 6), wird man jetzt berücksichtigen müssen.“ Ein einfaches Mittel, das Verständnis der Schüler zu prüfen, besteht darin, die räumliche Lage eines Punktes mit dem Finger, die einer Geraden mit dem Lineal und die einer Ebene mit der Handfläche andeuten zu lassen; auch die Konstruktion eines Schrägbildes sollte man fordern. Wenn ein verlangtes Stück auf verschiedene Weise gefunden werden kann, benutze man den genauesten Weg und verwende die anderen als Probe. Vor allem muß dem Schüler jetzt zum Bewußtsein gebracht werden, daß jede ebene Figur und ihr Grund- oder Aufrißbild affin sind; er muß wissen, daß zwei parallele und gleichlange Strecken sich als ebensolche ab- bilden u. s.w. Auf Grund dieser Eigenschaften werden bei der Körperdarstellung die Bilder der dabei auftretenden ebenen Figuren in freier Weise konstruiert(freie Affinität).“

Mit Rücksicht auf die neu eintretenden Schüler ist der Lehrgang so zu gestalten, daß er auch ohne den Vorkurs verständlich ist.(Manche Schulen treiben in Sekunda nur schiefe Projektion).

Zur Einführung eignen sich die regelmäßigen Körper auf der Fläche, auf der Ecke (Fig. 15) oder auf der Kante stehend, jedoch nur die einfacheren Fälle. Das Grundrißbild ergibt sich sofort; die Höhenunterschiede ermittelt man aus der wahren Länge der Kanten (bzw. Diagonalen) und ihrem Grundrißbild. ²*

Eine weitere Gruppe von Aufgaben, die ebenso wie die vorstehende im engsten Zu- sammenhang zum„mathematischen Unterricht“ steht, hat die Kugel“s zum Gegenstand.

Beispiele: 1. Das nautische Dreieck aus der Polhöhe des Beobachtungsorts und aus Azimut und Höhe des Gestirns zu konstruieren und Deklination und Stundenwinkel i. w. Gr. anzugeben u. zw. unter Benutzung eines zweiten Grundrisses, parallel zur Aequatorebene (Fig. 8). 2. Konstruktion eines rechtwinkeligen Dreiecks aus einer Kathete und deren Gegen- winkel(Fig. 9)(ohne Grundriß zu lösen; ebenso die beiden folgenden Aufgaben). 3. Die Erd- oder Himmelskugel sei gegeben durch den Umriß und das Bild des Pols im Inneren des Umrisses; gesucht ist der Aequator(Fig. 10) oder auch 4. ein Parallkreis(Fig. 11).(Der Parallelkreis kann entweder ganz innerhalb des Umrisses liegen oder ihn vierpunktig berühren, oder er kann von der sichtbaren nach der verdeckten Seite der Kugel verlaufen, den Umriß in zwei Punkten berührend). 5. Die Himmelskugel(Zenit oben) durch eine zum Aufriß senk- rechte(dem Aequator parallele) Ebene zu schneiden.(Drei Fälle wie oben). 6. Den Meridian durch einen beliebigen Punkt zu legen, wenn die Pole auf dem Umriß gegeben sind. 7. Den durch zwei beliebig gegebene Punkte bestimmten Großkreis zu ermitteln mit Hülfe eines durch beide Punkte gelegten Seitenrisses.(6 und 7 ohne Grundriß). 8. An die Erdkugel die Berühr- ebene zu legen, dargestellt durch ein Quadrat, dessen Mittellinien Tangenten des Meridian- bezw. Parallelkreises sind(Fig. 12).

Bei genügender Zeit kann die steriographische Projektion angeschlossen und der Begriff der Winkeltreue erläutert werden; auch die Wechselschnitte des Kegels kommen bei der stereographischen Projektion?é zur Verwendung.