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das Bild erst durch Einsetzen der Spurparallelen, unter denen die zum Grundriß parallelen als„Höhenlinien“ zu bevorzugen sind. Die Darstellung der Ebene wird deshalb passend vorbereitet durch Aufgaben über Höhenlinien. Die quadratische Pyramide, der Kegel (beide gerade und schief), die Halbkugel u. s. w. werden in Höhenschichten dargestellt. Der Hinweis, daß der gleiche Abstand der Schichten im Aufriß erkennbar ist, während die Höhen- kurven im Grundriß an verschiedenen Punkten i. a. verschiedenen Abstand zeigen, wird nicht überflüssig sein, da hiergegen oft gefehlt wird. Auch darauf wird man aufmerksam machen, daß die Höhenschichtenkarte nur deshalb ohne den Aufriß verständlich ist, weil die Höhen- zahlen beigedruckt oder durch Signatur erkennbar gemacht sind(kotierte Projektion). Den Abschluß der ganzen Gruppe bildet die Uebertragung der Spurparallele aus dem Grund- in den Aufriß(Fig. 4), also etwa die Durchdringung einer Dachfläche durch einen Schornstein. Die Figur ist im Grundriß gegeben, und die beiden Dachlatten, längs deren die Durchdringung stattfindet, werden in den Aufriß gebracht. ¹?

Bezüglich ebener Schnitte beschränke man sich auf den einfachen Fall, daß die Schnitt- ebene senkrecht auf einer Tafel steht(meist auf der Aufrißtafel); mit einer solchen Ebene schneide man ein gerades Prisma, ferner ein schiefes Prisma, dessen Seitenkanten parallel dem Aufriß liegen; wählt man den Normalschnitt, so kann man auch die Abwickelungis hinzu- fügen und erläutern, daß jedes Prisma als ein gerades aufgefaßt werden darf. In entsprechender Weise wird man den geraden Zylinder schief und den schiefen Zylinder senkrecht schneiden (Fig. 7).¹ Auf die affine Beziehung zwischen Grund- und Schnittfigur wird man auf dieser Stufe nicht ausführlich eingehen, doch benützt man bei der Konstruktion die Tatsache, daß parallelen Seiten der Grundfläche ebensolche in der Schnittfigur entsprechen, und daß die Schnittfigur einen Mittelpunkt hat, wenn man als Grundfläche eine punktspiegelige Figur wie ein Quadrat, ein regelmäßiges Sechseck oder einen Kreis gewählt hatte.— Der Mantel des geraden Zylinders läßt sich beleben durch Einsetzen der Schraubenlinie.¹ Dem gleichseitigen Zylinder mag man eine Kugel einbeschreiben und die Kugelzonen nach Archimedes flächentreu auf den Zylindermantel abbilden. Auch andere Kartenentwürfel? lassen sich an die Dar- stellung der Kugel schon auf dieser Stufe anschließen. Schneidet man eine Kugel mit einer durch ihre Mitte gehenden, zum Grundriß senkrechten Ebene, so kann man an dieser Figur die Mondphasen erläutern.²o Die Konstruktion der Kegelschnitte geschieht wie in IIb aus den Achsen u. s. w.—

Endlich verdient die Methode der Drehungen Berücksichtigung, durch die man einen mit der Grundfläche auf dem Grundriß stehenden Körper in„allgemeine Lage“ bringt. Ist der Körper schon gegen den Aufriß gedreht, so wird man ihn zunächst um eine im Grundriß, senkrecht zum Aufriß angenommene Achse drehen und dann um eine auf dem Grundriß senkrecht stehende Achse. Diese Drehachsen sollte man angeben und die nötigen„Hülfslinien“ als Bilder der Bahnkreise und als Bahnen der Parallelverschiebung einführen. Man versäume nicht, darauf hinzuweisen, daß der Kreis in der darstellenden Geometrie meist als Bahn eines Punktes auftritt, der sich um eine gegebene Achse dreht, so daß also von dem Kreis nicht der Mittelpunkt, sondern die im Mittelpunkt auf der Kreisebene senkrechte Achse und ein beschreibender Punkt gegeben sind.

§ 6. Unterprima.

Nachdem die vorhergehende Klasse bereits einen Vorkurs in dem Grund- und Aufriß- verfahren gebracht hat, handelt es sich jetzt darum, dem Schüler dieses Verfahren mit seinen Abarten voll zum Bewußtsein zu bringen. Neben die Anwendungen treten daher jetzt einige der wichtigsten Grundaufgaben“*t als Zusammenfassung der gewonnenen Ergebnisse; so besonders die Bestimmung der Länge einer Strecke und ihrer Neigung gegen die Tafel, sowie