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sondern bestimme auch Tangenten und benutze die Krümmungskreise im Scheitel auf dieser Stufe ohne Beweis; der Begriff der Krümmung tritt ja auch beim parabolischen Hohlspiegel und bei der Erdabplattung dem Schüler entgegen. Um die Ellipse genau zu erhalten, bestimme man noch die Diagonalpunkte samt deren Tangenten. Will man eine Hyperbel zeichnen, was auf dieser Stufe nicht erforderlich ist, so sind die Asymptoten nötig.““ Natürlich lassen sich Aufgaben über Kegelschnitte auch in räumliches Gewand kleiden.¹²

Schließlich können noch andere Kurven, wie z. B. Sinuslinie, Zykloide, die Katakaustik des Kreises als Hüllkurve u. a. mit Nutzen behandelt werden.

§ 5. Obersekunda.

Auf dieser Stufe tritt neben die schiefe Projektion das Grund- und Aufrißverfahren. Es muß den Schülern klar werden, daß ein Bild im allgemeinen nicht ausreicht, um ein räumliches Gebilde völlig zu bestimmen; es wird ihm einleuchten, daß Grundrißbilder die Höhe nicht erkennen lassen(Schwierigkeit der Orientierung von Luftfahrzeugen aus), daß diese vielmehr dem Aufriß entnommen wird, ebenso wie der Grundriß alle horizontalen Ab- messungen i. w. Gr. aufweist, insbesondere auch den Abstand von der Aufrißwand. Es er- gibt sich als allgemeines Gesetz:„Die Lage zu einer Tafel erkennt man in der anderen Tafel.“ Dies gilt nicht nur für den Abstand eines Punktes, sondern auch für die Lage einer Geraden oder einer Ebene(parallel, senkrecht, schief). Neben diesen bestehen noch andere Beziehungen zwischen Grund- und Aufrißbild, so die folgenden:„Die Verbindungslinie von Grund- und Aufrißbild eines Punktes steht senkrecht auf der Projektions-— achse;“„im Grundriß ist die Projektionsachse als Bild der Aufrißtafel zu betrachten und im Aufriß als Bild der Grundrißtafel.“ Derartige Regeln werden da, wo sie gerade gebraucht werden, allmählich und nach einander der Anschauung entnommen, schließlich formuliert und durch stereometrische Sätze begründet.

Bezüglich der Verdeckungen merke sich der Schüler, daß im Grundriß die oberen, im Aufriß die vorderen Teile der Figur sichtbar sind. Um die Schwierigkeiten nicht zu häufen vermeide man anfangs nach Möglichkeit das Zusammenfallen verschiedener Bild- punkte. Es ist daher nicht empfehlenswert, einer verbreiteten Gepflogenheit entsprechend, mit dem Würfel, womöglich in frontaler Stellung, zu beginnen. Viel verständlicher ist die Darstellung der geraden quadratischen Pyramide, die man gegen den Aufriß gedreht hat; hier haben Grund- und Aufrißbild verschiedenen Umriß, so daß die Zuordnung der Bildpunkte leicht zu finden ist, während gerade beim Würfel oft Verwechslungen vorkommen. Gibt man der quadratischen Pyramide noch eine quadratische Säule als Sockel, so hat man neben wagerechten und schiefen Kanten auch senkrecht aufsteigende, die sich im Grundriß als Punkte pro jizieren. Die Ergebnisse werden herausgezeichnet und in schiefer Projektion nochmals veranschaulicht: Projektion des Punktes und der Strecke.¹“ Will man die Gerade mit einer Tafel, etwa mit dem Grundriß schneiden, so verlängere man die Seitenkanten der auf dem Sockel stehenden Pyramide bis zum Schnitt mit dem Grundriß; die Spurpunkte bilden die Ecken eines Quadrats, das dem bereits gezeichneten perspektiv liegt. Man bestimme einen dieser Spurpunkte, der günstigen Schnitt bietet, und vervollständige die Figur ohne den Aufriß, diesen nur zur Probe benutzend. Man mache darauf aufmerksam, dass es zur genauen Konstruktion eines Bildes nötig ist, dessen Eigenschaften im Voraus zu kennen.

Die Umlegung einer Geraden zur Bestimmung von Neigung und wahrer Länge kann an der Giebelwand eines Hauses veranschaulicht werden, die man in den Grundriß umlegt; als Probe drehe man die Wand dem Aufriß parallel(Fig. 6).¹4

Bei der Darstellung der Ebene ist hervorzuheben, daß dieses Gebilde nicht durch seine Projektionen sondern durch Grund- und Aufrißspur festgelegt wird. Anschaulich wird