—½““““ͤ

——— 2—— —————————— ————ü——.—

— ——

—= —

C

.— 8Z- 16 25 f 12, 15 — e 4 9 — b— 4 5 c 2 3 2 9 * 1 339 22 4 1 3 2

adc:ergo d ad e ſicut b ad c. cõtinet ergo d ſemel e et eius vnã ſimilẽ partem: ergo d et eſi

numerũ b qui monſtratus eſt partes d. conſtat itaq; ꝓpoꝛtionẽ multiplicẽ ſuperpartients ſgrs.. er partiũ b addere ſuper ſimilẽ multiplicẽ:vt ꝓponebat᷑ ꝓpoꝛtionẽ fuppartienranqs—. A

CSola ſuperparticulariũ ſeſqualtera multiplicẽ ſuperparticularẽ pꝛocreat. ¶ Eſto a ad b ſeſqualtera et b ad cſimiliter. manifeſtũ eſt ꝓpoꝛtionẽ aadc compoſitã eſſe exdꝛ—

ſeſqualteris et a continet b ⁊ eius medietatẽ que ſit dꝛet b cõtinet c ⁊ eius medietatẽ que ſit vuudus 1 per quintã ſecundi d ad e ſicut b ad c: ergo d continet e ⁊ eius medietatẽ. d ergo et eſimul tantä ut Jd óᷣtum c et vna pars dicta ab c.cõtinet ergo a numerũ c bis:et vnã eius partẽ.ꝙ a cõtineat c etd un 1 differentiã a ad c:quare due ſeſqualtere cõſtituunt multiplicẽ ſuperparticularẽ. Secundo oſe mes( nullã aliam ſuꝑparticularẽ duplicatã conſtituere multiplicẽ ſuperparticularẽ. et fũto abc Sadi 11 nales alie ſuꝑparticulares:vt ꝓpoꝛtio a ad cſit ꝓpoꝛtio a ad b duplicata. a cõtinet b et partem 9. N que ſit dꝛ:quequidẽ bis ſumpta minuit a toto aut ſeipᷣaʒ ſemel ſi eſſet tertia:aut bis ſi quartaaut 43 b ries ſᷣm ꝙ minoꝛ pars fuerit.et ſimilit᷑ h continet c ⁊ ſimilẽ partem eius que ſit e. et qr d ad b hl 4 ſunt qᷓ c.quare a ad c nõ eſt multiplex ſed et cũ d ⁊ eſint contra ſe pꝛimi vt ſupponimꝰ:d erenn tn nonã tertij eſt pꝛimus ad e.ſed et per vndecimã eiuſdẽ c etiam erit pꝛimus ad d et e ſimul. ergod 43 3 ſimul nõ numerabũt c.eſt ergo a ad cꝓpoꝛtio ſuꝑpartiens: quod eſt ꝓpoſitum. 6u

eie in al. I. e„. 1' ¶ Multiplex ꝓpoꝛtio in aliqͥt equales ꝓpoꝛtiones diſtribui non põt pᷣter mliiplics, l. ¶ Sit ꝓpoꝛtio a ad b multiplex que diuidatur in quotlibet ꝓpoꝛtiones equales ᷓ ſint aad: cad 66 ſ 1

et d ad b. qꝛ enim b ad d⁊ dadcet cada ſunt continue ꝓpoꝛtionales et b pꝛimus per hypothelimnn merat a vltimum:ergo per decimãtertiam quarti b numerabit d ſecundũ.quare ⁊ dnumerabucetx itidem a.diuiſa eſt igitur a ad b in ꝓpoꝛtiones multiplices: quod intẽdebatur.

¶ Nulla ſupparticularis ꝓpoꝛtio in aliquot equales ꝓpoꝛtiones eſt diuiſibilis. mm ¶ Sit a ad d qu elibet ꝓpoꝛtio ſuperparticularis:que diuidat᷑ ſi poſſibile eſt in ꝓpoꝛtiones equals ¹ i

a ad bꝛb ad cꝛet c ad d. capio e fg h ꝓpoꝛtiones in minimis terminis ꝓpoꝛtionis a ad bꝛet per equgm i pꝛopoꝛtionalitatẽ que pꝛopoꝛtio a ad d ea eſt e ad h.ſed a cõtinet d et eius partẽ: igitur et ectinebit 11 b et eius partẽ que ſit lꝛ:que ſi fuerit numerus cũ lꝛ numerabit h ⁊ etiã e.ergo h et e nõ eruntminii b quod per quintã quarti epugnat hypotheſi.alioquĩ ſilꝛ eſt vnitas eſt pars denoĩata ab h. addoadh ſ vnitatẽ: ſitq; cõpoſitus leritqʒ que pꝛopoꝛtio a ad d eal ad h.ergo per duodecimã quarti quot med 1 ꝓpoꝛtionales intercidũt inter a et d:totidẽ ⁊ interl et h ſola vnitate diſtãtes:qð eſt ĩpoſſibile.Ex hac 1 cognoſcit᷑ tonus in muſica qui ex ſeſq̃octaua ꝓpoꝛtione naſcitur:in duo equa parti nõ poſſe. ¶ Superpartientẽ pꝛopoꝛtione que duplicata ſuꝑpartientẽ conſtituat: inuenire. 6 ¶ Sumo quãlibet pꝛopoꝛtionẽ que minoꝛ ſit dupla quã per quinquageſimãquartã huius partioꝛin duas ſuperpartientes quarũ minoꝛ ſi dupletur efficietur pꝛopoꝛtio minoꝛ dupla:quare qualibetmul dr tiplice.que qꝛ per pecedentẽ nõ erit ſuperparticularis alioquin ſuperparticularis in duo equaſeta⸗ 1 retur:conſtat eam eſſe ſuperpartientẽ: factumq; eſſe pꝛopoſitum. 1 ¶ Multiplicẽ ſupparticularẽ q̃ ex duabꝰ ſuꝑpartiẽtibus equalibꝰ ↄponat᷑: repeie.; ¶ Sumo ſecundũ exigentiã decime octaui quadꝛatos a et b pᷣter pꝛimos quoꝛũ a addat ſuper duplũ p b vnitatẽ manifeſtũ eſt ꝓpoꝛtionẽ a ad b eſſe multiplicẽ ſuperparticularẽ.at ex illa decima faclle o⸗ 1 gnoſces pꝛopoꝛtionẽ lateris a ad latus b eſſe ſuperpartientẽ. ſumo ergo ſecun dũ exigentiã coꝛelani g quarte ſexti mediũ pꝛopoꝛtionale inter a et bꝛeritq; per tertiã eiuſdẽ ſexti pꝛopoꝛtio a adc tanqᷣ pu⸗(

poꝛtio lateris a ad latus b. quare conſtat pꝛopoꝛtionẽ multiplicẽ ſuperparticularẽ a ad b compoſti 1 eſſe ex pꝛopoꝛtionibus a ad cet c ad b duabus ſcʒ equalibus ſuꝑpartientibus:qð eſt pꝛopoſltů. 1

¶ Superpartientẽ inuenire que duplicata multiplicẽ ſuperpartientẽ conſtiuat. ⁰⁸

¶ Sit a quilibet impar et b pꝛoximus par maioꝛ cuius medietas ſit c. capio ſi uperpartiente ſumpt a partibus denominatis ab a ⁊ numeratis ab c:quami duplicatã dico eſſe petitam. nam ſiillainſedu 1 catur pꝛoueniet numerus et partes numerate ab a ⁊ a quadꝛato c qui ſit e:et denominateaquadꝛato a qui ſit d. ſed cum a ⁊cſint contra ſe pꝛimi alioquin a et b cõmunicarẽt.ergo pervndecimã tertija eſt pꝛimus ad e:⁊ per nonã eiuſdem a et e ſimul ſunt pꝛimus ad a.quare a et e ſimul per vndecima eiuldẽ ſunt pꝛimus ad d. ergo partes numerate ab a et e nõ numerabũt d. quare ꝓpoꝛtio ſuperparties que aſſignata erat duplicata cõſtituit multiplicẽ ſuperpartientẽ. Ai ſi hec demoͤſtratio tibiluboſcurs 6

detur pꝛo hac ⁊ ſequẽtibus declarationẽ accipe.qꝛ enĩ in pꝛeſenti ſuperpartiẽs inuenta erat üudans 1 partiès tertias que denominat᷑ ab vno ⁊ duabus tertiis. duc ergo denominationẽ ſuperbipanttns tertias per octauã huius in denominationẽ ſuperbipartiẽtis tertias ſcʒ ducẽdo pꝛimo duas ter Jk in duas tertias.et per quartã huius pꝛoueniũt quattuoꝛ none.ſecũdo duas tertias in vnũ 1 Pucunt b due tertie.tertio vnũ in duas tertias et iterum pꝛoueniũt due tertie.⁊ quartovnũ in vnum: eeuene vnum:habebiſq; quattuoꝛ nonas duas et duas tertias ⁊ vnũ:ſed due ⁊ due tertie:id quattuortes faciuntvnum integrũ etvnam tertiam:quodquidẽ vnum alteri vni additũ conſtituit bivarmnen dr

tertia eſt tres none:quod per ſecundã huius facile cognoſcas.que ſiquidem tres none aliis 1 Mrnh

nonis pꝛimo inuẽtis addantur fiunt ſeptem none. Patet itaq; pꝛopoꝛtionẽ ſuperbipartient ens: m duplicatam: conſtituere duplam et ſuperſeptupartientẽ nonas que eſt multiplex ſuperpar

pꝛoponebat pꝛopoſitio: quod eſt pꝛopoſitũ declaratum.