———————————— 4— “

VIIII b

¶ Datã pꝛopoꝛtionẽ que quadꝛupla minoꝛ ſit in duas ſuperpartientes diuidere.—

— dd Fdnac

¶ Sint date ppoꝛtionis minimi termini a et a b:qui coniuncti faciant d:ſitq; e maioꝛ d vno qui con⸗ iuncti faciant f:cui addatur equale d.ſitq; totus f gꝛducaturq; a in fget ꝓueniat h:⁊ ex ab in eũdem fiat hlꝛ l.paret igitur ꝙ ex b in fᷣ'g fit lꝛ l:et ex b in g fit lꝛ.quare ex b in ffit l. ſit item ctriplus ad a et ex c in g fiat mn:ſitq; n equalis lꝛ.per octauam ſecundi erit pꝛopoꝛtio h lilꝛ ad h tanq; ab ada. ⁊ quia ab per hypotheſim eſt minus q̃ᷣ quadꝛuplũ a:eſt ergo b minus qᷓ; triplum a.quare minus qᷓ c.⁊ quia geſt equale d et n equalis g:conſtat m eſſe equalem vel multiplicem ad d per duodecimã pꝛimi. Item qꝛ d et e ſunt contra ſe pꝛimi:ergo per nonam tertij f erit ad vrrunq; pꝛimus.et per eandẽ f et g ſimul ad d pꝛimus.et qꝛ a eſt minoꝛ d ⁊ ad ipſum pꝛimus per eandẽ nonam: quod ſit ex a in fgſ cz h non nu merabitur per decimã eiuſdem ab d. et qꝛ d numerat lꝛ ⁊ d nõ numerat hꝛergo lꝛ per viceſimãtertiam pꝛimi nõ numerabit h.et quia f g maius eſt ꝙᷓ; triplum d:ergo maius erit h oᷓ n:maius ergo o lꝛ. erit ergo lꝛ partes h. et eadem ratione aꝛ a b eſt minoꝛ ⁊ pꝛimus ad f nõ numerabit f quod ſit ex ab in fg: ſcʒ hll.et qꝛ f numeratl: ergo l nõ numerabit h lꝛl:quare neq; hlꝛ. ⁊ qꝛ per nonã pꝛimil eſt quãtum lꝛ bis et b.⁊ n eſt equalis lꝛ et m equalis vel maioꝛ d ⁊ maioꝛ b et h maioꝛ in nꝛerit hlꝛ matoꝛl.erit igr lpartes eius.conſtat itaq; hlꝛ ad h eſſe ſuperpartientẽ ⁊hlꝛl ad hlꝛ etiam eſſe ſuꝑpartientẽ:in quas diuiſa eſt pꝛopoꝛtio que eſt inter a et a b:factumq; eſſe pꝛopoſitum.

¶ OQmnis multiplex ſuꝑparticularis addit ſuper ſimilcʒ multiplicẽ:ſuperparticularẽ anumero qui fit ex ductu numeri multiplicis in numerũ partis denominatã. 2 ¶ Sit b ad a pꝛopoꝛtio multiplex ſuperparticularis: ſitq; c ad a ſimilis multiplex. dico pꝛopoꝛtionẽ bad a advere ſuper pꝛopoꝛtionem cad aſſ uꝑparticularem denominatam a numero qui fit ex ductu numeri multiplicis in numerũ denominantẽ partis ſuperparticularis. Sit enĩ d quo abundat b ſuꝑ cet denominãs multiplicis ſit e ⁊ denominans ſuperparticularis ſit f:manifeſtũ eſt ergo ꝙ a erit in c ſecundñũ e: ⁊ d in a ſecundum f. fiat ergo gexe in fꝛ eritq; per viceſimãtertiam pꝛimi d in cſů ecundũ g. quare b continebit c et partem denominatã ab g. continet igitur pꝛopoꝛtio b ad a pꝛopoꝛtionẽ ſ uper⸗ particularem denominatã ab g numero qui fit ex ductu e denominãtis multiplicis in f numerũ deno minantem partis ſuperparticularis: quod eſt pꝛopoſitum.

¶ OQmnis multiplex ſuperpartiẽs cuius multiplicis numerus partes numerat:addit ſuper eandem multiplicẽ: ſuperparticularẽ ab vna partium denominata.

¶ Sit ꝓpoꝛtio b ad a ꝓpoꝛtio multiplex ſuꝑpartiens: ſitq; d numerus denominãs multiplicẽ ſcoͤm quẽ ſit ſumptus numerus partiũ b ad a.dico ꝓpoꝛtionẽ b ad a addere ſuper ſimilẽ multiplicẽ: ſuper particularẽ denominatã ab vna illarum partiũ. Sumo enĩ cad a ſimilẽ multiplicẽ. ⁊ qꝛ b maioꝛ eſt c: ſit f quo abundat b ſuper c.qꝛ enĩ f eſt partes a ſumpte ſcðm d et denominate ab a: ⁊ a eſt pars c deno minata ab d. et cũ ex d in a fiat cex f in a fiet c. eſt ergo f pars c denomĩata ab a.continet igitur b ad a

pꝛopoꝛtionem ſuperparticularẽ ſuper ꝓpoꝛtione c ad a denominatã ab vna paritum ſuperpartiẽtis: quod erat demonſtrandum.

¶ Multiplicẽ ſuperpartientẽ inuenire:que ſuper totã multiplicẽ addat ſuperparticu larem:cũ ſint numerus partiũ ⁊ numerus denoĩans multiplicẽ dati cõmenſurabiles.

¶ Pꝛoponit hec: ꝙ ſi dati numeri quoꝛũ vnus denoĩat multiplicẽ et alter eſt numerus partiũ ſimul multiplicis ſuꝑpartiẽtis: ſint adinuicẽ cõmenſurabiles inuenire multiplicẽ ſuꝑpartiẽtem que ſuper ſimilem multiplicẽ addat ſuꝑparticularẽ. Sint p̃mo a numerus denominãs multiplicẽ ⁊ b numerus partiũ dati cõmenſurabiles.ſitq; b numerus ſumptus ſcðm a et per pᷣcedentẽ factum erit ꝓpoſitum. Sint ſcðᷣo a ⁊ bcõmenſurabiles:ſed b ſit pars a et adiuuãte pᷣcedente ꝑviceſimãtertiam pꝛimi cõclu⸗ des ꝓpoſitũ. Sit tertio a pars b dicta ab c:ſumo quẽlibet numerũ maioꝛẽ a: quẽ tamen nõ numeret qui ſit dꝛet duco c in d et ꝓueniat e.⁊ qꝛcc in a facit b:erit e maioꝛ b.et qꝛ ꝑ ſeprimã ſecũdi h ad e ſicut aad det a nõ numerat d. igitur neq; b numerabit e.duco a in e ⁊ ꝓueniat f:cui adiuncto b fiat g. dico ergo gad e eſſe ſuꝑpartientẽ que querit᷑.nam g cõtinet e ſecundũ a et inſuꝑ b partes e. ⁊ qꝛ b eſt pars f ꝙ emultiplex ſit ad c:⁊ a in c faciat b.addet igitur gſuꝑ f multiplicẽ ad e denominatũ ab a:numerũ b eius partẽ:quod eſt ꝓpoſitum. uarto ſint a ⁊ b cõmenſurabiles:ſed neuter alterũ numeret.⁊ ſit c maximus eos numerãs:numeretq; c numerũ b ſcðm d.capio e quẽcunq; numerũ maioꝛẽ c: quẽ tamẽ c nõ numeret:quẽ duco in d et ꝓueniat f̊ qui erit maioꝛ bꝛneq; ab eo numerabitur.dico ergo vt in pꝛe⸗ cedenti parte ĩmediate mõſtratũ eſt: ꝓpoꝛtionem ſuꝑpartientẽ denominatã ab a ⁊ a partibus dictis abf̃ ſumptis ſecundũ numerum b:addere ſuper multiplicem dictam ab a:ſuperparticularẽ. hoc vt in

pꝛecedenti parte monſtratur: ſicq; totum conſtruitur pꝛopoſitum.* ¶ Multiplicẽ ſuperpartientẽ cuius multiplicis numerus et numerꝰ partes numerãs fuerint adinuicẽ pꝛimi: ſuper ſimilẽ multiplicẽ:ſuꝑpartientẽ addere neceſſe eſt.

¶ Sit a numerꝰ multiplicis et bh numerus partiũ ſuperpartiẽtis:ſintq; a ⁊ b numeri adinuicẽ pꝛimi

dico multiplicẽ ſuperpartientẽ denominatã ab a et partiũ b: ſuper ſimilẽ multiplicẽ addere pꝛopoꝛ⸗

tionẽ ſuperpartientẽ.ſit enĩ cdenominãs partes b manifeſtũ eſt c eſſe maioꝛẽ b:neq; b ipᷣm numerare

duco ergo a in c ⁊ ſiat d per viceſimãpꝛimam tertij b nõ numerabit d.addo igitur b ſuper d et fiat e:qꝛ

enĩ e continet c ſecundũ a.et inſuper partes c ſumptas ſecundũ b eſt pꝛopoꝛtio e ad cmultipłex ſuper

partiens denoĩata ab a et partium b.ſed ⁊ pꝛopoꝛtio d ad c eſt multiplex dicta ab a:et e addit ſuper d e2