¶ Si duoꝝ quodlibet in reliquum ducatur:que ꝓducẽtur equa eſſe neceſſe eſt. ¶ Dec fere eſt octaua pᷣmi ſev paulo cõioꝛ ꝙ etiã ad minutias/ fractioneſq; ſe extendat.vt ſl a nüerus

pars vel partes multiplicet bnumerum ꝑtem vel ꝑtes et ꝓueniat c:et b multiplicet a et pꝛouentatd.

, 3 3 iãe eri 1 d vnü:ergo ꝑmutatim c ad a ſi ad vn dico c ⁊ deẽ᷑ equalia.nã ex viffinitiõe erit c ad b ſicut a adʒ cut b ad vnum ergo ex ↄuerſide diffinitiõis b in a ꝓducit c. eſt igit᷑ d qð ſit ex b in a equũ c. quod erat demõſtrandſ

¶ Pꝛoducti ex duobus crit ad vtrũq; ꝓpoꝛtio a reliquo denoĩata.ꝙ ſi eius ad alteni fucrit ꝓpoꝛtio a reliquo dicta:idem ex ductu alterius in alterum ꝓducctur.

Ex duobus nũeris a in b ꝓducatur c: dico pꝛopoꝛtiõem c ad a eẽ denoĩatam ab b: et pꝛopoꝛtizem 4 b eſſe denoĩatam ab a.nam ꝑ pᷣcedentẽ ex ain b ſit c:et ex bin a fit etiã c. etꝑ diffinitioem eaẽ Ppoꝛ

tio b ad vnũ:que c ad a.at ꝓpoꝛtio b ad vnũ denoĩatur ab bꝛigitur ⁊ ꝓpoꝛtio c ad a denoĩabitur ab b.

et ↄſilit qꝛ ex a in b ſit c:pꝑ diffinitiõem que ꝓpoꝛtio a ad vnũ:ea eſt c ad b.at ꝓpoꝛtio a ad vnũ deno

ne ab 1Aeaas art 2 ad b denoĩabitur ab a. quod eſt pꝛopoſitum. Cõuerlum ↄſimili ↄuerſo Wnah ꝓbabit᷑.Et ex hac ad quẽlibet numerum ꝙtũlibet multiplicem demöſtrare poſſumus.capiẽdo totum numerum ab vnitate quotus numerus multiplex ad nũerũ ſit petitus ⁊ ducẽdo numerum ab vnitate totum acceptũ in nũerum aſſignatũ · et per pꝛeſentem totus ꝓueniet ad numerũ aſlignatũ multiplex.

¶ Ois ꝓpoꝛtio ex duabus cõpoſita: ex ductu vnius caꝝ in reliquam ꝓducitur.ä ¶ Ducere ꝓpoꝛtiõem aliquã in aliam:eſt ducere denoĩationẽ vnius in denoĩatiõem alt᷑ius. hĩc duas

PPortisco ali quã ↄpoſitã ꝓducẽ:eſt denoĩatiões illaꝝ duaꝝ ꝓp oꝛtionũ denoĩatiõem 2poſite ꝓducs. Eſto& ꝓpoꝛtio c ad a ↄpoſita ex ꝓpoꝛtiõibꝰ c ad b ⁊ bad a. dico ꝓpoꝛtiòeʒ c ad aꝓduci ex ductu ꝓpoꝛ tiõis c ad b:in ꝓpoꝛtiõeʒ b ad a.capio enĩ d denoĩantẽ ꝓpoꝛtiõis c ad b⁊e denolantẽ ꝓpoꝛtiõis b ada et f denoĩantẽ totiꝰ c ad a.qꝛ enĩ ꝓpoꝛtio c ad a denoĩat᷑ ab f:ergo ꝑ ſcðᷣam Ptem pᷣcedẽt f in a facite et ꝑeãdẽ e in a facit b.ergo ꝑ ſeptimam ſcðᷣi ſicut c ad b ita f ad e:ſed d eſt denoians ꝓpoꝛtiõem cadb per hypotheſim. ergo ꝑ ſcðᷣam partem pᷣcedẽtis d in e ꝓducit f denoĩans ſcʒ vnius illan pꝛopoꝛtioni in denoĩatiõeʒ alterius ꝓducit totius denoĩatiõem.quod eſt pꝛopoſitum.

¶ Trium otinue pꝛopoꝛtiõalium qõð ſit ex pꝛimo in vltim equũ eſt ei: quod ex medio

—— 8— 2d 3— 3 1.. 2— b—

d 16 c— 3

2 4 4 8 b 6

4.

—

2 4 3 6

f. 2

c 2 1 f 6 e 5 8 3 b 2

CSi a quotlibet nũeris numcroꝝ ab vnitate pꝛopoꝛtionalium partes denommenl:

in ſe ducto ꝓduciturt ¶ hec fere in viceſimaſexta ſecũ di mõſtrata eſt:niſi ꝙ hec paulo latioꝛ eſt/ atq; hic alio demõſtrandi modo innitimur. Sint ergo a b ctria ↄtinue pꝛopoꝛtiõalia/ atq; ex b in ſe fiat dꝛet ſit e denolans ppoꝛ tionis b ad a.dico equũ eſſe qð fit ex a in c:⁊ b in ſe.nã qꝛ e denoĩat pꝛopoꝛtiõem b ad a:etiã denoiabit

pꝛopoꝛtionem c ad b.ergo ꝑ ſcðᷣam ꝑtem penultime e in b ꝓducit c.ergo ꝑ octauam ſecũdi q̊ ꝓpoꝛtio

dad c ea eſt bad eꝛſed ⁊ p eãdẽ ſcðᷣam ꝑtẽ penultime a in e facit b· ergo per pꝛimam partem culdẽ⸗ denoĩat ꝓpoꝛtiõem b ad e:quare ⁊ pꝛopoꝛtionem d ad c.ergo a in c per eiuſdẽ ſcðᷣam ꝑtem pducitd

conſtat igitur quod ſit ex b in ſe: equũ eſſe ei qð ſit ex a in c. et pꝛopoſitum.

— ◻☛

¶ Si pꝛimum ad ſcðm ſicut tertiũ ad quartũ: quod fit ex pꝛimo in quartum: cqualc

eſt ei qð ex ſecundo in tertium ꝓducitur.

¶ hee ſiłe qð viceſimaquĩta ſecũdi ꝓponit.Sit ergo pꝛopoꝛtio a ad b vt cad dꝛet ex bin cſiate. dico

etm̃ eſſe q́;tum qð ſit ex a in d.ſit enĩ f denoĩans pꝛopoꝛtiõem b ad a:denoiabit etiã ꝓpoꝛtiõem dade.

ergo ꝑ ſcðᷣaʒ partem ſeptime huius f in c ↄſtituit d.ergo ꝑ octauam ſcði e ad b ſicut d ad f. ſed ꝛfin per eãdem ſcðᷣam partem ſeptime huius facit b:ergo ꝑ pꝛimã ꝑtẽ eiuſdẽ a denoĩat ꝓpoꝛtiõem badf quare ⁊ pꝛopoꝛtibem e ad d.per ſcðᷣam ergo partem ciuſdem a in d facit e.qð eſt ꝓpoſitum.

¶ Si ſcðm alteꝝ duoꝛũ nũcroꝛum ſumãtur partes a reliquo dicte:crit ab eo quodai eis ↄponit᷑ pꝛopoꝛuo eiuſdem ad reliquum denoiata. vnde manifeſtum cſtqocelll ſe habent ad vnum ſicut reliquus ad denoĩantem. 8

¶ Sint a ⁊ b duo nũeri: ſumãturq; m a ꝑtes denoĩate ab b:ſitq; c cõpoſitum ex ipᷣis.dico ppoꝛtiõem a2d b denoĩari ab c.nam qꝛ tot ſunt in vno partes ſiłes:quot ſunt vnitates in b.erit vt ſicut aad bꝛita

partes ille advnum.ſed vnũ in illis ꝓducit ipᷣm c:ergo ꝑ ſeptimã huius pꝛopoꝛtio c advnum denolak ab c compoſito ex ipᷣis partibus.ergo ⁊ pꝛopoꝛtio a ad b ab edem denoĩatur. Coꝛrelarium ex modo demõſtr andi notum eſt.ꝓponebat enĩ hinc eſſe notũ ſicut c ad vnũ:ita a ad denolantem b quipoſitus erat denoĩare c.et hoc fuit oſtenſum.

¶ Quc a otra ſe pꝛimis partes denoĩantur:vnam non cõſtituũt.. ¶ Sint a ⁊b numeri ↄtra ſe pᷣmi:et aggregatus ex ipis ſit cqui ꝑ nonam tertij eſt pꝛimus ad vtruꝗ

a ⁊ bꝛet ſit d pars denoĩata ab a/et e pars denoĩata ab b. dico d et e nõ ↄſtituere partem vna.ducoeni

a in bꝛet ꝓueniat f qui ꝑ viceſimãquitam tertij eſt mimus quẽ nũerant a b:qui ⁊ idem fper decimam

eiuſdem tertij eſt pꝛimus adc. et ꝑ ſcbam huius:d eſt reducte ꝑtes denomĩate ab fꝛ ſumptefmbete

reducte partes denoĩate ab fet ſumpte ſᷣm a.quare d e ſimul ſunt ꝑtes denoiate ab fꝛetſ umptefm 8 quare per coꝛrelarium pᷣcedentis d e ſimul ad vnũ:ſicut c ad f.atc nõ eſt ꝑs f:cũ ipſi moſtratus ſi pꝛimus:igitur neq; d e pars vnius.non ↄſtituũt igitur d epartem vnam.qð eſt pꝛopoſitum ·

— —

vnam ex eis compon eſt impoſſibile.

u ͤ—

—.—