—— craa cſſ ci iꝗꝛmu, daro 1.Ann duferätadtten ur: pducct quneuss madrauo quprum twtt — Kan dernä ckaute

Seciũdeſit a quri

¶C Mã ſi ponat᷑ numerari ſᷣm cubũ:h penultimã qui ꝓducetur erit cubus. at poſitus eſt nõ cubus nõ

itaq; ipſum numerabit ſᷣm cubũ:quare ſi ipſum cubus numeret: ſᷣm nõ cubũ nũerabit:qð intẽditur.

¶Si quadꝛati cõmunicant: latera quoq; cõmunicabunt. ſi vero quadꝛati ſint incom⸗

enſurabiles:et latera ipſoꝛum incõmenſurabilia erut.— Sun ab duo quadꝛati et c latus a et d latus b: dice Pen 5 1 t quaosein bldeee eisß cerac. cõĩcare.nã ſi c d nõ cõicant:ergo per duodecimã tertij neq; ꝗ 9 nt. ex onollin isienr üri cõi ncõicant neq; eoꝝ latera ñtis ſi quadꝛati cõicabunt ⁊ eoꝝ latera cõicant.dico ſ cðᷣo ſi quadꝛati a b no eoꝝ latera Snrare ſi cd latera cõicant eſt aliqͥs nüerns wos Klde numerzeghr La Aoneeb ASun viceſimãtertiã pꝛimi etiã numerat a.et qꝛ etiã e nũerat d:ꝑ eande vice ertiã: bit et b. ſi latera ſunt danmardtta et quadꝛati cõicant: quare ex oppoſito ↄñtis ſi quadꝛati non cõmunicãt neq; latera cõmunicabunt:quod eſt ſecundũ ⁊ totum pꝛopoſitum.

¶ Si cubi fuerĩt ↄmẽſurabiles⁊ lata.ꝙ ſi cubi nõ cõicent:neq; ipſoꝝ latera cõicabũt

Cihuius pꝛima pars vt pꝛecedentis pꝛima ⁊ ſecunda vt pꝛecedentis ſecunda pateſcunt.

¶ Si quadꝛati ad aliquem fuerit pꝛopoꝛtio tanqᷓ; quadꝛati ad quadꝛatum illum ali⸗

uem: quadꝛatum eſſe neceſſe eſt.. AMen Anadaadu qui ad aliquẽ numerũ vt b eam habeat ꝓpoꝛtionẽ que quadꝛati c er quadaet3 d dico b eſſe numerũ quadꝛatũ.nã qꝛ c et d ſunt quadꝛati per coꝛrelariũ quarte huius eſt vnus men 9s ꝓpoꝛtionalis inter c et d qui ſit e.⁊ qꝛ que ꝓpoꝛtio c ad d ea eſt a ad bꝛergo per duodeclmã quarti erit vnus medins pꝛopoꝛtiona is inter a et b qui ſit f.qꝛ ergo afb ſunt ꝓpoꝛtionales ⁊ a pꝛimꝰ poſitus ẽ quadꝛatus:ergo per decimã huius et b tertius eſt quadꝛatus: quod eſt pꝛopoſitum.

¶ Quicunq; ſe hʒ ad cubũ ſicut cubus ad cubũ: idẽ ex neceſſitate erit cubus.

¶ Si ad a numerũ cubum ſe habeat aliquis numerus vt b ſicut d cubus ad c cubũꝛdico b eſſe ecubum nã per coꝛrelariũ quarte huius inter c et d erunt duo medij ꝓpoꝛtionales.et cũ que ꝓpoꝛtio c ad d ea ſit a ad b.ergo per duodecimã quarti cadent cõſimiliter duo medij ꝓpoꝛtionales inter a et bꝛet a pꝛi⸗ mus ponitur cubus erit igitur et b per vndecimã huius cubus quod erat demõſtrandum.

¶ Si quadꝛatus in quadꝛatum vel cubus in cubum ducatur:latus pꝛoducti erit nu⸗

merus qui ex latere vnius in latus alterius pꝛoducitur. ¶ Sint pꝛimo duo quadꝛati a bꝛet latus a ſit c:et latus b ſit d.ducat᷑q; a in bꝛet ꝓueniat e q per deci⸗ mãquartã huius erit quadꝛatus:et ducat᷑ c in d:⁊ ꝓueniat f.dico f eſſe tetragonicũ latus e.nã per ſep timã et octauã ſecundi f eſt medius ꝓpoꝛtionalis inter a ⁊ b.et ꝑ viceſimãſextaʒ eiuſdẽ qð ſit ex a in b equũ eſt ei qͥ ſit ex fin ſe.ẽ igit᷑ flatus quadꝛati e qð erat ꝓbandũ.ſcðo ſint g et h cubi laterũ c et d⁊ g in h ꝓducat lꝛ qͥ per decimãſextã huius erit cubus.dico f eſſe latus cubicũ ua.ꝗꝛ chĩ c in aꝓducit get f in ſe ꝓducit e erit ꝑ nonã quinti ꝓpoꝛtio g ad e cõpoſita ex ꝓpoꝛtionibꝰ c adfet aadf.et qꝛ iterũ ex c in d ſit fꝛet ex d in b ſit h erit per eandẽ nonã ꝓpoꝛtio f ad h cõpolita exꝓpoꝛtionibꝰ c ad d et d ad bꝛſʒ cad d eſt ſicut a ad fꝛſed et permutatĩ d ad b ſicut c ad f: ꝙ eadẽ eſſet ꝓpoꝛtio c ad dett᷑ ad b. eſt igitur ꝓpoꝛtio f ad h equalis ꝓpoꝛtionibus a ad fet cadf:quare ꝓpoꝛtioni gad e.oꝛdinatis ergo quattuoꝛ nueris gefh:qꝛ que ꝓpoꝛtio g ad e ea eſt f ad h. ergo ꝑ viceſimãquintã ſecundi idẽ eſt nũerus q̃ ꝓdu citur ex g in h et ex fin e ſuũ quidẽ quadꝛatũ quare ꝓducti cubi lꝛ latus ẽ fꝛqð eſt totũ pꝛopoſitũ.

Si diſpoſitis ab vnitate numeris quadꝛatis: ꝓpoꝛtionaliter medij inter pꝛoximos

quoſq; ſumantur:fient omnes parte altera longioꝛcs.et cuiuſſibet illoꝛum ad illos differentꝛam lateri ſuo equalem eſſe conſtabit.

¶ Sint e f gh quotlibet nũeri quadꝛati ab vnitate ↄñter diſpoſiti:eoꝝvero latera vnitas:et b c d nu⸗ meri ↄñter abvnitate ſumpti.dico medios ꝓpoꝛtionales int᷑ pꝛoximos quoſq; quadꝛatos ſumprtos eẽ altera ꝑte lõgioꝛes.duco enĩ vnitatẽ in b ⁊ ꝓueniat lꝛ qͥ eſt medius ꝓpoꝛtionalis inter e ⁊ f.et qꝛ eius latera vnitas et b ſunt ĩequalia ſolavnitate diſtãtia:ꝑ diffinitionẽ lꝛ eſt altera ꝑte longioꝛ.ſifr duco b in c et ꝓueniatl qͥ erit medius ꝓpoꝛtiõalis int᷑ pꝛoximos quadꝛatos f g.et per idẽ vt pꝛius altera ꝑte

an longioꝛ.et ita de reliqᷣs ꝓpoꝛtionalidꝰ mediis pꝛoximoꝝ quadꝛatoꝛũ quotquot ↄñter aſſignati fueriĩt

quadꝛati. Dico pꝛeterea differentiã lꝛ ab quadꝛato f equalẽ eſſe b lateri fꝛet differentiãl a quadꝛato g eſſe equalẽ c lateri g:et ita cõſequenter.qꝛ enĩ b ſuperat vnitatẽ ſola vnitate:intelligo ergo b diuiſum in duas vnitates.et qꝛ b in ſe facit f:ergo per decimãtertiam pꝛimi b ductus in pꝛimã ⁊ ſecundam vni tatem pꝛocreat equũ f:ſed ſubſtracto qð fit ex b invnavnitate remanet lꝛ.eſt igitur ſubſtractũ eius qð ſit ex b in vnavnitate differẽtia lꝛ ad f:ſed et idem ſubſtractũ eſt equale b:ꝙ vnitas in quẽcunq; nume rum ducta idem faciat.conſtat ergo id eſſeverum de lꝛ.de l autem conſimiliter oſtenditur:qꝛ c excedit b ſola vnitate.diuido ergo c latus ſcilicet quadꝛati g in b etvnitatem.⁊ quia c in ſe facit get idem c in b etvnitatem facit equale g:per eandem decimãtertiam pꝛim::et ſubſtracto eo qui fit ex c in vnitatem

remanet l. differentia igiturl et g eſt quod ſit exc invnitatem: ſed ⁊ illud eſt equalec per idem quod

pꝛius.conſtat igitur pꝛopoſitum de altera parte longioꝛe l. et ita de quibuſſibet aliis argumentabere

a— 16 b—5 —4 5— 5 2.— 1 8 54 36 6- 5 4 6+

172²28 27 144 64 3 e bh— eA⸗ 9 12 16 a— f b— 3 4 c— d 27 144 12 64. ——. 99 4 9 16 e— f— h 2 G 12 .—1 m— 1 4. 1 b-— e d—

Similiter etiam oſtendes differentiam lꝛ ade eſſe vnitatem:et differentiaml ad f eſſe bet m ad geſſe

c. Mam cum b ſola vnitate ſuperet vnitatem:intellecto ergo b in duas vnitates diuiſo per decimam⸗ quartam pꝛimi quod ſit ex b in alteram vnitatum equale eſt ei qui ſit ex illa in ſe:⁊ illa in alteram, ſed 61 d.