IIII

CSi ſumantur numeri ab vnitate cõtinue pꝛopoꝛtionales: nullus eoꝛum numerabit

vitimum niſi ſᷣm aliquem in illa ſerie diſpoſitoꝛum.

¶ Sint ab c defnumeri cõtinue ꝓpoꝛtiõales ab vnitate: dico nullũ eoꝝ numerare f/ niſi ſᷣm aliquẽ in illo oꝛdine poſitoꝝ.nam qꝛ quotiesvnitas in a toties e in fꝛergo per diffinitionem enumerat fſcðᷣz a. Item qꝛ vt vnitas ad a: ita d ad e.ctvt a ad b:ita e ad f.ergo per equã ꝓpoꝛtionalitatemvt vnitas ad b ita d ad k. quoties ergo vnitas in bꝛtoties d in f.per diffinitionẽ igit᷑ d nũerat f ſcðm b. et qꝛ iten per

equã ꝓpoꝛtionalitatem per viceſ imampꝛimã ſecundi vt vnitas ad c:ita cad f. quoties ergo vnitas in ctoties c in f: quare c numerat f ſcðm ſe.et qꝛ mõſtratus eſt d numerare f ſcðᷣm bꝛergo alternatim per

octauam pꝛimi b numerat f ſcðm d.et qꝛ etiã e mõſtratus eſt nũerare fſcðᷣm a: alternatim a nũerabit fſcðm e.eſt itaq; oſtenſum ab cde numerare f vltim ſᷣm aliquẽ in illo oꝛdĩe poſitoꝝ.qð erat ꝓpoſitũ.

¶ Si numcroꝛum ab vnitate continue pꝛopoꝛtionaliũ ſecundus ab vnitate fuerit nu

merus pꝛimus: nullus numerabit vltimũ niſi aliquis in oꝛdine antecedentiũ.

CSint a b e dnumeri ↄtinue ab vnitate ꝓpoꝛtiõales: et anumerus pᷣmus. dico ꝙ nullus numerabit dꝛnili aliqs pꝛecedentiũ d in oꝛdine numeroꝝ a bed.Si enĩ aliqͥs alius numeret d ſit e qui nũeret eũ ſcðvm f. qꝛ ergo a nũerus p̃mus nũerat d ꝓductũ ex e in f:ergo ꝑ quartã tertij a nũerat e aut f.ſit ergo

vt numeret e intelligo qᷓttuoꝛ nũeros:ae/f/c:et qꝛ per pꝛecedẽtem a in cextremus in extremũ ꝓducit

d ⁊ eſidẽ ꝓducit e in f medius in mediũ. ergo per viceſimãquintam ſ cðᷣi vt a ad e:ita f ad c.ſʒ a nũerat

ꝛergo et f numerat c. numeret ergo f nũerũ c ſcðm g:eadẽ rõne f velg nũerabir b:ſitq; id ſcðʒ h.ꝑ idẽ quoq; tandẽ ↄcludes g aut h nũerare a:q̃re a non ẽ nũerus pmus.qdð ẽ ↄtra hypotheſim.at ſi g auth ponat᷑ eã̃lis a:argumẽtaberis ꝑ pᷣmiſſam reliquos eẽ equales tis qui ſunt in oꝛdie a bc dꝛetꝓpoſitũ.

¶ Numeris ab vnitate pꝛopoꝛtionalibus ſi aliquis pꝛimusvltimum numeret:ſecun⸗ dum quoq; abvnitate numerabit.

¶ Sint a b cd oↄtinue ꝓpoꝛtiõales ab vnitate:ſitq; e numerus pꝛimus qui nũeret d vltim:dico ipᷣm e numerare a ſcðm ab vnitate.Si enĩ e pꝛimus non nũerat a:ergo ꝑ pꝛimã tertij e erit pꝛimus ad a.et cũ quoties vnitas in a toties a ſit in bꝛergo a ſcðm ſe numerat b.quare per vndecimã tertij b eſt pᷣm⸗ ad e. et cũ quoties vnitas in a toties b ſit in c:a b nũerat c ſecũdũ a.quare pendecimã tertij e eſt pᷣmus ad c.et iteꝝ quoties vnitas in a toties c in dꝛergo c numerat d ſecũdum a.per eãdem ergo decimamꝛe eſt pꝛimus ad d. non ergo e numerat d.quod eſt oppoſitum poſiti.

¶ Si numeroꝛum continue pꝛopoꝛtionalium pꝛimus de ſecundo et vltimo tollatur:

que pꝛopoꝛtio fuerit reſidui ſccundi ad pꝛimũ ca eſt reſidui vltimi ad cõpoſitum oĩm

pꝛecedentium.

¶ Sint a. b. c. d. e. f. et gkꝛnumeri ↄtinue ꝓpoꝛtiõales ⁊ detrahat᷑ a b pꝛimus dee d ſecũdoꝛſitq; reſi⸗ duus ſecũdil d. Itẽ detrahat a b de vltimo g k/ſitq; reſiduus h k.dico que ꝓpoꝛtiol d ad ab: Prei⸗ k ad ↄpoſitũ ex a.b.c.d.et e f.ſumo enĩ exgk nũeꝝ gin equalẽ ef⁊ gn equalẽ c d.et intelligo gk.gm. et gn. vt tria tota.qꝛ ergo gm equat᷑ e f:que pꝛopoꝛtio gkad ef:ea eſt totius gk ad totũ g m.et qꝛ gn equat᷑ c dꝛideo que ꝓpoꝛtio ef ad c dꝛea eſt totius g m ad totũ gn.et per idem q̃ ꝓpoꝛtio c dad a bꝛea eſtgn ad gh.etvltra q̃ ꝓpoꝛtio totius gk ad totũ gm:ea eſt ꝗm detracti gk ad gn detractum gm/ꝗꝙ numeri g.k.e.f ⁊ c.d poſiti: ſint ↄtinue ꝓpoꝛtiõales.et q̃ ꝓpoꝛtio totiog mn ad totũ gn:ea eſt gn detra ctig mad gh detractũ g n.quare ꝑ quintã ſcðᷣi m lꝛ adnmſ⁊ nm ad hn reſiduoꝝ ad reſidua vt totoꝝ ad tota:id eſt mlꝛ ad ni: ſicut e fad cd.et nm ad h n ſicut c d ad ab. ergo ꝑmutatim per tertiã ſecũdi ſicut m lꝛ ad ef:itan m ad cdeth nad abꝛergo ꝑ viceſimam ſecũdi hn im le ſik qui ſũt h lꝛꝛ ad h poſitũ ex cf̃edet ab:ſicut h n vnius illoꝝ ad a b vnum hoꝝ.at cũ gn equetur c det gh equetur a bꝛergog h equabitur cl. equat᷑ ergohn nũero l d. ablatis enĩ equalibus ab equalibus:reſidua ſũt equalia. qᷓre ergo que pꝛopoꝛtio ld ad a bꝛea erith l⁊ ad ↄpoſitũ ex oĩbus pꝛecedẽtibus.qð eſt pꝛopoſitum. ¶ Pꝛopoſitis duobus numeris/ ſumptiſq; quotlibet ſcm pꝛopoꝛtionem eoꝝ ꝓpoꝛti onalibus:ſi minoꝛ in minoꝛem ⁊ maioꝛ in maioꝛem ducatur ⁊ ꝓductoꝛum differentia der differẽtiam ꝓpoſitoꝝ diundatur: exibit numerus qui ex omnibus aliis coaceruat᷑ int ab et ah duo numeri et h b eox differẽtia:et ſint ed/ de/ ef/ et f gꝛquotlibet i 1 vner 2 vad Pedhentau 8 bün 3 v Auenbanuwofrenn ah in fg ⁊ ueniatlneſt ditr atrtun np ln u. differẽtiam pꝛimi ad ſcm ꝓuenire cg numeꝝ exc de cõpoſitum. Nam ex ab in defiatl o et in ef ſiatlp et in fg fiatl q.qꝛ per decimã Anuntepere detg ab in f g:equũ eſt ei quod ſit ex ductu ah ⁊hb in eũdẽ Snn f d. qꝛ per decimã pꝛimi qð ſit ex ductu fit In. ergo exh bin k g per eädem vecima itn de nũerũ f g:et ex ab in f'ꝗ̊ fitl qꝛet ex a h in eũdẽ eLo exh binf gp ã fit n q. Pꝛeterea intelligo quattuo:: imut a eee 1 torriner fg quartũ.et qꝛ q̃ pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſ 5 27 eſt tertij an danre S heima i quod fit ex ductu a b in fg pꝛimi in vltimũ:equũ eſt ei qui fit ex ah ine f medio in mc

dium. at quod fit ex ab in f geſtl q:ergo quod fit ex ah in ef eſtl q.at vo qs fit ex toto ab in ef eſt lpꝛ

fre peet brignen ſit exhbiin ef eſt ꝗp. Et eadẽ ↄſimiliq; argumẽtatione: quod fit exhb tionem pꝛimi ſi pꝛoductu quare per nonam pꝛimi h b in toto eg pꝛoducit n m. ergo per ſextam peti demonſtrandumh. Sum diuidatur per eũdem numerũ h b:redibit pꝛioꝛ numerus c g.qð erat

— ¶ Quarti elementoꝛum Brithmetices Joꝛdani finis. LeAb erat