ma theuccainer u etunq candatin d Alcdcforcham 10 d pridecc m umi qa nunci:eitdm — nèc mum erpn —

tactk ctcnffar

ri tꝛopecneui

IIII

Numeroꝛũ continue pꝛopoꝛtionaliũ ſi pꝛimus nõ numeret ſecundũ nõ numerabit aliquis eoꝛum vltimũ. ꝙ ſi pꝛimus numeret vltimũ numerabit et ſecundũ.

¶ Sint a b ed numeri cõtinue ꝓpoꝛtionales et a nõ numeret b: dico nullũ coꝝ nũerare d. ⁊ certũ eſt

qꝛ:ſicut a ad bꝛita c ad d.et a nõ numerat bꝛc etiã non numerare d.at ꝙ b nõ numeret d pʒ.capio enim

efgtres mĩmos ꝓpoꝛtionis a ad b.per equã enĩ pꝛopoꝛtionẽ que ꝓpoꝛtio e ad g:ea eſt b ad d. at e ⁊ Huß quintã ſunt cepo ſe pꝛimi:ergo e nõ numerat g:quare neq; b numerabit d. ſl enĩ e numerat g ipm e eſſet vnitas. et cũ que pꝛopoꝛtio e ad f:ea ſit a ad h ⁊ e vnitas numeret f̊a etiã nñeraret b:qð eſt ↄtra hypotheſim. et cõſimiliter ꝓbabis a nõ numerare d acceptis quattuoꝛ mĩmis in illa ꝓpoꝛtione q ſn h l lm. nã cum pᷣmus nõ ſit vnitas(alioquĩ oẽs numeraret ⁊ ita a oẽs)pꝛimꝰ ⁊vltimus ꝑ quintã hu erũt contra ſe pꝛimi ⁊ pꝛimꝰ h nõ numerabit m:quare neq; a numerabit d.vt enĩh ad m: ita ꝑ equam ꝓppoꝛtionalitatẽ a ad d qð eſt pꝛimũ.Scðm pʒ ex oppoſito ↄñtis huiꝰvltimi mõſtrati. Si enĩ a nõ nu merat b:etiam nõ numerat d.vt monſtratũ eſt ꝑ pꝛimã partem: ergo ex oppoſito ↄſtis ſi a numerat d numerat ⁊ b:quod eſt ſecundum. 3

¶ Si pꝛimus in tertio quoties vnitas in ſecundo: inter pꝛimũ et tertium et inter vni⸗

tatem ⁊ ſecundũ numeri pꝛoportionales numero cquales inuenientur.

¶ Sint tres numeri a edꝛa pꝛimꝰ:e ſecũdus:d tertius.et lit vt quoties a eſt in dꝛtoties vnitas ſit in e

dico ergo quot numeri inter a ⁊ d cõtinue ꝓpoꝛtionales inueniũtur:totidẽ inter vnitatẽ ⁊ e reperiri. Keperiãtur enĩ int᷑ a ⁊ d duo nũeri b c cõtinue ꝓpoꝛtionales:qſi enĩ a numerat d ergo ꝑ pꝛemiſſi am a nũerabit b.vnitas ergo numeret f quoties a ẽ in b:itẽq; f numeret g quoties b nũerat c: nũeret etiã g toties quẽcunq; numerũ.·vt verbi cã h quoties c nũerat d:qꝛ ergo vt a ad bꝛita vnitas ad f et vtb adc. ita f ad g.et vt c ad d:ita g ad h.ergo ꝑ equã pꝛopoꝛtionalitatẽ vt a ad dꝛita vnitas ad h.ſed ⁊vt a ad d ita ⁊ vnitas ad e.ſunt ergo h ⁊ eidem numerus: quare inter vnitatẽ ⁊ e duo pariter numeri f et g re⸗ periuntur medij pꝛopoꝛtionales vt inter a et d duo b ⁊c: quod eſt pꝛopoſitum.

¶ Si fuerint duo numeri contra ſe pꝛimi quotcũq; inter alterũ eoꝝ ct minimũ quem numcrãt:totidem inter reliquũ ⁊ vnitatẽ pꝛopoꝛtionales reperiri cõtingit.

¶ Sint cõtra ſe pꝛimi a⁊ e et mĩimus quẽ numerãt ſit dꝛdico ꝙ ſi int᷑ aet d chdũt b e duo medüj ↄtinue ꝓpoꝛtionales totidẽ cadẽ inter vnitatẽ ⁊ e:qꝛ a eſunt contra ſe pꝛimi.et ideo in ſua ꝓpoꝛtione mĩmi et d eſt mĩmus quẽ numerãt:ergo ꝑ viceſimãquartã tertij a nũerat d ſecũdum e.eſt ergo toties a in d quoties vnitas in e:ergo per pꝛecedentẽ quot numeri inueniunt᷑ inter a ⁊ d pꝛimũ ⁊ tertium:totidem continue pꝛopoꝛtionales inueniunt᷑ inter vnitatem ⁊ e ſecundũ: quod eſt pꝛopoſitum.

¶ Si fuerit duo numeri cõicantes:quotcũq; inter alterũ coꝝ ⁊ maximũ q cos nůcrat totidẽ inter reliquũ ⁊ minimũ ab eis numeratũ ↄtinue ꝓpoꝛtionales ↄſiſtere ncẽe eſt.

¶ Sint a b nũeri adinuicẽ ↄmẽſurabiles et c maximseos numerãs ⁊ d mĩmus ab eis numerato:dico quot ꝓpoꝛtionales cadũt inter c et b:totidẽ cadere inter a ⁊ d.itẽ quot cadũt inter c ⁊ a: totidẽ cadere int᷑ b ⁊ d. Sint enĩ e ⁊f mĩmi in ꝓpoꝛtione a ad bꝛergo ꝑ viceſimãtertiã tertii e in c facit a.et per vice⸗ ſimãquartã eiuſð e in b facit dꝛergo ꝑ ſeptimã ſcðᷣi q̃ pꝛopoꝛtio c ad b ea eſt a ad d.ergo ꝑ duodecimã huiꝰ quotcũq; cadũt medij ꝓpoꝛtiõales int᷑ c ⁊ b pꝛimũ et ſcvᷣm:totidẽ cadũt int᷑ a ⁊ dtertiũ et quartũ et iterũ qꝛ vt c ad b:ita a ad d.ergo ꝑmutatĩ c ad a vt b ad d:quare ꝑ eandẽ duodecimã quot medij pꝛo poꝛtionales cadẽt int᷑ c et a:totidẽ cadent int᷑ b ⁊ d.manifeſtũ eſt ergo quotcũq; inter alterũ eoꝝ et ma ximũ eos numerantẽ cadant:totidẽ inter reliquũ ⁊ minimũ ab eis numeratũ cadere:qð eſt ꝓpoſitũ.

¶Si ab vno pꝛincipio duo oꝛdines numeroꝝ ꝓpoꝛtionaliũ numero equaliũ ſumant᷑ quotcunq; inter pꝛimum et alterũ extremoꝝ: totidem inter extremos medii ſecũdum ꝓpoꝛtionem pꝛoximoꝛum a pꝛimo ꝓpoꝛtionales erunt.

¶ Incipiat ab a ad d vnus oꝛdo numeroꝛũ continue pꝛopoꝛtion aliũ et ab eodẽ a ad g ſecundus ⁊ nu⸗ mero quidẽ equaliũ:dico quot medij pꝛopoꝛtionales continebũtur inter a ⁊ d: totidem cõtineri inter d ⁊gſm ꝓpoꝛtionẽ pꝛoximoꝛũ a pꝛimo.cõtineant ergo b c medij ꝓpoꝛtionales inter a ⁊ dꝛ⁊ e fmedij

ꝛopoꝛtionales int᷑ a ⁊ g:totidẽ cõtineri dictũ eſt inter d gſᷣm pꝛopoꝛtionẽ b e:qð oſtendit᷑. Capio eniĩ hlꝛ mĩmos pꝛopoꝛtionis b ad e ⁊ duco h in oẽs illos et fiantl mno ex vna parte:et ex altera ꝑte fiant lp ar per ſeptimã ſecundi lmn oſunt cõtinue pꝛopoꝛtionales:ſimilf̃ etlp qr.et per eandẽ que pꝛo⸗ poꝛtio b ad e:ea eſt m ad p. Deinde duco lꝛ in ae ⁊fet pꝛoueniant s t v:eruntq; per ſ eptimã ſecundi s adt ⁊tadvſicut l ad p:p ad q et qadr.⁊ per octauam eiuſdem ſicut h ad lꝛ:ita ⁊ lads. quarem adp ſicutl ad s.et qꝛ p ſit exhin e ⁊t exlꝛ in e:ideo per octauam ſecundi p ad tvt h ad lꝛ:quare vt m ad p.

ſunt igitur continue pꝛopoꝛtionales mp t. et qꝛ dictũ ẽ vt s adt ⁊tad v:ital ad p: pad qet qadr. eſt

ergo econuerſo r ad q vt vadt: ergo permutatim r ad vvt qadt.⁊ quia iterum qad pvttads: ergo permutatim q adt vt p ads:quare p ad s:q ad t et r ad v erunt in eadem pꝛopoꝛtione.⁊ quia que pꝛo⸗ poꝛtio m ad l: ea eſtn adm ⁊0oadn:⁊ mad ĩpꝛobata eſt vt p ad s.ergo vt nadm: ita qad t.·ergo per⸗ mutatim que pꝛopoꝛtio n ad a:ea eſt m adt.ergo per duodecimam huius cum inter m ⁊ tcontineatur vnum medium pꝛopoꝛtionale ſcʒ p ſecundũ pꝛopoꝛtionem m ad p: itidem continebi᷑ vnum medium pꝛopoꝛtionale inter n q ſecundũ pꝛopoꝛtionẽ m ad p qð ſit x. ⁊ qꝛ ꝗ fit ex h in f ⁊ vex lꝛ in fper octauã pꝛimi erit pꝛopoꝛtio q ad vvt h adlꝛ:quare vt m ad p.ſunt igitur nx qv continue pꝛopoꝛtionales ſᷣm

b 4

2 8

—

b c 18 d 27

—:

e 4 f6 g 9

h HA 1 m v is 8 c 8 4 ——: — 4 — 12+ b— f 1

d 2 a ——— C

d 16 24 36 954 5 12 18 4† 6 b e 2 2 2 1 3 h— 6 4 8 1 18 12 8 t p— m 54. 36 24. 16 9— 2— i 108 72 4 32 1— 3 1——o