un 1 t reſtduns xcurn Cd.d dm ze mdennm uuti⸗

11

Scðᷣm patet:nam ꝑ immediate mõſtratum ab ad b:maioꝛ eſt ꝓpoꝛtio qᷓc d ad d. ergo ꝑ duodecimam ꝓpoꝛtio a b ad cd:maioꝛ qᷓ; b ad d detracti ad detractũ.ergo ꝑ decimãtertiã a ad creſidui ad reſiduũ naioꝛ pꝛopoꝛiio qᷓ́ a b ad c d.quare iteꝝ per duodecimã a ad ab maioꝛ q́; c ad c d.per vndecimã isit a b ad a:minoꝛ qᷓ;ᷓ cdadc.quod eſt ſcðvᷣm ⁊ totum pꝛopoſitum.

3—.——„—„ 3 3„ 4„ ¶ Si mequales nũcri equalibus addãtur:erit ↄpoſitoꝝ minoꝛ ꝓpoꝛtio qᷓ; adiũctoꝝ. ¶ Sint a c numeri inequales:bo ⁊ d equales ⁊ cõpoſiti a b ⁊ cd:ſitq; a maioꝛ c.dico a ad c adiũcti

ad adiũctum maioꝛem eſſe pꝛopoꝛtiõem qᷓ; a b ad c dcompoſiti ad compoſitum.nam cũ bꝛ⁊ didem ſint numerus:⁊ 3 ſit maioꝛ c:per nonam igitur maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio a ad b ꝙ; cad d. ergo per duodecimam

maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad c detracti ad detractũ ꝙᷓ; b ad d reſidui ad reſiduũ.ergo maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad c detracti ad detractum:q; a b ad c dtotius ad totum.nam ſi aadc:⁊ ab ad cd eadem eſſet pꝛopoꝛtio: per quintam eadem eet a adc:⁊ b ad d.cuius oppoſitũ demõſtratum eſt. Si auteʒ maioꝛ eẽt ab adcd pꝛopoꝛtio q́; a adc:ergo per decimãtertiã eſſet ꝓpoꝛtio b ad d reſidui ad reſiduũ:maioꝛ q́; a ad c detra

cti ad detractũ.cuius etiã oppoſitum modo monſtratumeſt.relinqᷣtur igitur a ad c pꝛopoꝛtio maioꝛ

adiuncti ſcʒ ad adiũctum:qᷓ; a b adc d compoſiti ad compoſitum ⁊ pꝛopoſitum.

¶ Si fuerit ꝓpoꝛtio pꝛimi ad ſcðm maioꝛ qᷓ; tertij ad quartũ: fueritq; pꝛimus minoꝛ tertio:crit ſecundus minoꝛ quarto. 3 b b ¶ Sint quattuoꝛ numeri:a pꝛimus b ſecũdus /c tertius/ d quartus:ſitq; a ad b pꝛopoꝛtio maioꝛ qᷓ;c

ad dꝛet ſit a minoꝛ c.dico b eſſe minoꝛem d. nam cũ c ſit maioꝛ a:ergo per nonã maioꝛ eſt ꝓpoꝛtio c ad

b:q́; a ad b.quare multo foꝛtius c ad b maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio qᷓ; c ad d.per decimam igitur d maioꝛ eſtb. quod eſt pꝛopoſitum.

neceſſe cſt.

¶ Sit a ad b maioꝛ pꝛopoꝛtio qᷓ; c ad dꝛet nũerus cõpoſitus a b equalis cõpoſito c d:dico a eẽ maioꝛẽ c. nam pꝛimo non erit equalis: ꝛ ſi a eẽt equalis c:etiam b eẽt equalis d per conceptiõem.alioquin ſi equalibus inequalia adderẽtur:tota fierent inequalia. quare equalis eẽt ꝓpoꝛtio a ad b: ⁊ cad d. qð eſt ↄtra hypotheſim.neq; erit c maioꝛ a: et a minoꝛ.nam per pꝛecedentem b ſcðs eſſet minoꝛ d quarto per conceptionem igitur a et b duo minoꝛes ſimul ſumpti minus ſunt qᷓ; cd duo maioꝛes ſimul. quod iteꝝ eſt ↄtra hypotheſim.relinqͥtur igitur a eẽ maioꝛem c ⁊ pꝛo poſitum. 0

¶ Si pꝛimus fucrit maioꝛ tertio: ⁊ compoſitus ex pꝛimo ⁊ ſecundo equalis cõpoſito ex tertio ⁊ quarto:maioꝛ erit pꝛopoꝛtio pꝛimi ad ſcùm qᷓ; tertij ad quartum.

¶ hHec eſt ↄuerſa pꝛecedentis.Sit vt pꝛius a pꝛimus nũerus maioꝛ c tertio:et cõpoſitus a b equalis cõpoſito c d.dico maioꝛem eẽ a ad bꝓppoꝛtionè qᷓ;c ad d. Mam q a ẽ maioꝛ c: ab ⁊cdequales:erit b minoꝛ d. non enĩ eſſe poteſt b equalis d.nam ipſis a ⁊ cinequalibus additis:tota non fierent equalia. neq; eſt b maioꝛ d.nam per cõceptionem qð fieret ex a ⁊ bduobus maioꝛibus plus eſſet.quod eſt ↄtra hypoth eſim. et cũ ſit maioꝛ c:ꝛergo ꝑ nonam pꝛopoꝛtio a maioꝛis ad d:maioꝛ eit qᷓ́; pꝛopoꝛtio c ad d.ſʒ

⁊ cũ b demõſtratus ſit minoꝛ dꝛper decimam igitur a ad b maioꝛ pꝛopoꝛtio qᷓ; a ad d.quare multo foꝛ⸗ tius ꝙ c ad d.quod eſt pꝛopoſitum.

¶ Si quoilivet numeroꝝ ad totidem alios fueritvna pꝛopoꝛtio:que vnius ad vnum cg oim ad omnes pariter acceptos crit pꝛopoꝛtio.

¶L. Sint 3/ b⸗c qtlibet nũeri:et d /e/f totidem alij.et ſit a ad dꝛet b ade:⁊ cadf̃pꝛopoꝛtio vna.dico que pꝛopoꝛtio a ad d:eãdeʒ eẽ totius ab c ad totũ d ef.nam facile ex ſcðᷣa huius cognoſcis tres añcedèẽtes ee eque aut maioꝛes aut minoꝛes aut equales ad ſuos ↄſequẽtes. Si aũt ſint eq̃ mioꝛes:quota pars vel ꝑtes erit a ad d tota ꝑs vel ꝑtes erit b ad e:⁊ c ad f.ergo ꝑ quartã ⁊ quintã pꝛimi ſub diſiunctione quoties opoꝛtuerit repetitas erit totus a bc tota ꝑs vel ꝑtes tottus de f: quota pars vel ptes a ad d. quare eadez crit ꝓpoꝛtio a ad d:et totius abcad def. At ſi ſint tres añcedẽtes eque maioꝛes quia q̃ᷓ Ppoꝛtio a ad dꝛeg eſt b ade ⁊ cadf.ergo ꝑ pꝛimã huis q̃ Phoꝛtio d ad a:ea eſt e ad b ⁊ fadc.q̃re qͥta ꝑsvel ꝑtes d ad a: tota vel tote eſt e ad b/⁊ fad c.per quartã igit ⁊ quintã pꝛimi ſub diſiũctione qties opus fuerit repetitas quota ꝑsvel ꝑtes eſt d ad a:tota ꝑs vel ꝑtes eſtdef adab c.q̃re q̃ ꝓpoꝛtio d ad a:eadè erit totius d e fad totũ a bc.ergo ꝑ pꝛimã huius q̃ ꝓpoꝛtio a ad d:eadẽ totius a b c ad totum def.qð iteꝝ eſt ꝓpoſitum. Si vo ſinguli ſingulis ſint equales: ſtat im adiuuãte ↄceptione ſi equales numeros equalibus addao totos ſieri equales:idem efficies. eſt itaq; totum pꝛopoſitum notum.

C 8 ifuerint quotlibet numcri/ aliq; ſm cundem numerum otinue in eadem ꝓpoꝛti neé umpti: extremoꝝ eandem eſſe pꝛopoꝛtionem neceſſe eſt.

C lhec declarat equã ꝓpoꝛtionalitatem que eſt quoties ſi umptis quotl

hñtibus:cõcludimus vt illoꝝ pꝛopoꝛtio

quid aũt ſit cõtinua ꝓpoꝛtionalitas:iam dictũ eſt.et hec equa

biita dat ut adc: ita d ad f ꝓ quo eque pꝛopoꝛtionalitatis miodo ponitur pꝛeſens ꝓpoſitio. Scðo o foꝛmat᷑ indirecte ↄuerſoq; oꝛdinc.vt ſi dixero que ꝓpoꝛtio a 8d

bea eſt e ad fꝛet que b ad cea dad e· ergo que ẽ a ad e:ea eſt d ad f.ꝓ quo quidẽ eque pꝛopoꝛtiõalitatis

2

—ꝛ— A

A

/

, 82 A

4