e dadueru. Snr aaddaendnminch mulls edt enui ninn dem lprunt amum — Dedanrhſens

re

— 38 quarun dmm dnarrat misee

t1c d.pemumnr tr ſecidam. qucd aite

uo ao dcracw eic

duuerted—

dd pror 9 rmumie idrr mit

igit᷑ pꝛopoꝛtio b ad a ſcðᷣi ad pꝛimũ minoꝛ eſt ꝙ ꝓpoꝛtio d ad c quarti ad tertiũ.qð erat

T Sint vt pꝛius qᷓttuoꝛ numeri:a pꝛimus. b ſcðᷣs. c tertius. d quartus

II

hec intẽ dit.ſi g ſit differẽtia d ad e:et f differẽtia b adc.ꝙ qꝛ d et e ſunt ſumpei eque dillecdaob et c:pꝛopoꝛtionem g ad fᷣ eſſe eque multiplicem vt d ad b. et ſint b d duobus re fanis ma o zes auen pꝛeſentem ea eſt pꝛopoꝛtio d ad e:que b adc.ergo permutatim per tertiam qͥ pꝛopoꝛ ke ad Velus ad totum:ea eſt e ad c detracti ad detractum.ergo per quintam g ad freſiduus ad reſiduum vt da totius ad totum.qð eſt pꝛopoſitum.

¶ Si duo nũcri cũdem multiplicent:erit multiplicantiũ ac ꝓductoꝝ eadem ꝓpoꝛtio.

At ſi in ſi ti Eti pli: itidem multiplicet a:⁊ ꝓueniat e. ¶ At ſi in figuratione pꝛecedẽtis b multiplicet a:et ꝓueniat d. et c itide— Dico q̃ pꝛopoꝛtio b ad c multiplicãtis ad multiplicantem:eãdem eſſe c ad e pꝛoducti ad pꝛoductum.

Nam per octauam pꝛimi idem ꝓuenit multiplicando aꝑ b ⁊ b per aſcʒ dꝛet ſiliter ivem ꝓpuenit mul

tiplicando a per c et c per a ſcʒ e.ſed per pꝛecedẽtem b ⁊ c multiplicatis per a:eadem eſt ꝓpoꝛtio b ad c 2 dad deno ⁊ multiplicãtibus b ⁊ ca: eadẽ erit pꝛopoꝛtio b ad c ⁊ dade.qð eſt pꝛopoſitum. ¶ Si duo nũeri ad tertiũ ↄparent᷑: maioꝛis ad ip̃m maioꝛ crit ꝓpoꝛtio ⁊ mĩori mĩoꝛ: ipius vo ad maioꝛem ꝓpoꝛtio minoꝛ/ ad minoꝛẽ maioꝛ.vñ manifeſtũ eſt ſi duo nũcri ad eũdem cõparati: cãdem ſeruent ꝓpoꝛtiõis habitudinẽ:illis vnũ/ cũdẽq; cẽ nũcrũ. ¶ Comparẽtur a b ad tertium c ſitq; a maioꝛ bꝛdico ipſius a adc maioꝛem eẽ ꝓpoꝛtionem qᷓ;b adc: dico etiã c ad a minoꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem qᷓ; cad b. Pꝛimũ patet et ſit pꝛimo c tertius vtroq;ʒ a et b maioꝛ.qm̃ c eſt maioꝛ a⁊ maioꝛ bꝛerit a pars vel partes cꝑ pꝛimam pꝛimiet per eãdem b eiuſdẽ erit ars vel partes.et cũ a poſitus ſit maioꝛ b ipᷣe erit plures ꝑtes c qᷓ b.Iquare maioꝛ pꝛopoꝛtio a ad cꝙ b ad c. Sit ſcðo c tertius vtroq; a ⁊ b minoꝛ:ſi a pluries ↄtinebit c ꝙᷓ b icpᷣm c otineat:cõſtat ꝓpoſſi itũ · Et ſi a ⁊ b equaliter ↄtinebũt c:qꝛ a maioꝛ b plures partes ipᷣius vltra ↄtinebit a qᷓ; ↄtineat ipᷣe b. ãre idem cõcluditur a ſcʒ ad c maioꝛem eẽ pꝛopoꝛtionem qᷓ; b ad c.Sit tertio c tertius minoꝛ a ⁊ maioꝛ b: quia denoĩatio pꝛopoꝛtiõis a ad c fit a toto multiplice aut a toto ⁊ parte aut partibus/ct denomĩario pꝛopoꝛtiõis b ad c eſt a parte aut partibus:ↄſtat ⁊ hoc mõ maioꝛem eẽ pꝛopoꝛtionem a adcqᷓb adc. ct cũ non poſſit c tertius eſſe maioꝛ a ⁊ minoꝛ b.qꝛ quicũq; eſt maioꝛ maioꝛe maioꝛ eſt ⁊ minoꝛe:ↄſtat pꝛima ꝑs quo ad oẽs eius modos firma.Scðᷣa pʒ:⁊ ſit pꝛĩo c tertius maioꝛ a ⁊ b cũc ſit maioꝛ a et b⁊ a ſit maioꝛ b.ſi c ↄtinet płies b minoꝛẽ qᷓ; a maioꝛẽ:ↄſtat pꝛopoꝛtionẽ c ad b eſſe maioꝛẽ qᷓr c ad a.et ſi c cõtinet b ⁊ a equalit᷑:cõtinebit inſuper plures partes b minoꝛis qᷓ; a.quare iteꝝ idem cõcluditur. Sit ſcðᷣo cvtroq; minoꝛ.erit itaq; ſumptisvnitatibus totidem partes miaioꝛis quꝑt minoꝛis. ſed maioꝛis per conceptionem erit totideʒ partes minoꝛes:cum partes ille a maioꝛe nunſero ſint denoĩate. quare ipſius ad maioꝛem iteꝝ minoꝛ pꝛopoꝛtio.Sit tertio c tertius minoꝛ a ⁊ maioꝛ bꝛcũ ſit ſolum pars vel partes a ⁊ excedat ipᷣm b:maioꝛ erit ipᷣius ad b ꝓpoꝛtio q́; ad a.et cũ nõ poſſit vt dictum eſt eẽ maioꝛ

a et minoꝛ bꝛcõſtat ſecũda pars quo ad oẽs eius partes monſtrata.Coꝛrelariũ ex pꝛima parte facile

cognitum eſſe poteſt.

¶ Si idem numerus ad duos cõparet᷑ ad quẽ ipᷣius maioꝛ ꝓpoꝛtio fuerit:minoꝛem/ et ad quem minoꝛ:maioꝛem eſſe neceſſe eſt. 9

¶ hec eſt ↄuerſa pꝛecedẽtis.Sint ergo a b duo nũeri ad quos cõparetur c tertius.et ſit ead a minoꝛ pꝛopoꝛtio:et c ad b pꝛopoꝛtio maioꝛ.dico a eẽ maioꝛem:et b minoꝛem. Ham pmo'mnon erunt equales: quia c ad vtrũq; eẽt eadem pꝛopoꝛtio.neq; a erit minoꝛ b.· nam per pꝛimam partem pꝛccedẽtis:minoꝛ est aad e pꝛopoꝛtio qᷓh adc.et per ſcᷣam partem eiuſdem maioꝛ c ad a pꝛopoꝛtio: ⁊ minoꝛ cad b.qð eſt ↄtra hypotheſim.relinqͥtur igitur pꝛopofitum verum.

(Si fuerit ꝓpoꝛtio pꝛimi ad ſcðm maioꝛ qᷓ; tertii ad quartum:erit ſecũdi ad pꝛimuũ pꝛopoꝛtio minoꝛ qᷓ; quarti ad tertium.

¶ banc in multiplicibus demõſtrare pꝑfacile eſt:vt li ſit a ad bin genere multiplici maioꝛ pꝛopoꝛtio q; cad d:dicam b ad a minoꝛem eſſe pꝛopoꝛtionem ꝙ́ᷓ d adc.capiam eni e eque multiplicem ad dꝛvt a ad b. qꝛ ergo a ad bet e ad d eque multiplices:erit a ad b ⁊e ad d eadem pꝛopoꝛtio.at pꝛopoꝛtio a ad b poſita eſt maioꝛ qᷓ; c ad dꝛergo ⁊ pꝛopoꝛtio e ad d maioꝛ eſt qᷓ; c ad d.per ſcoͤᷣam partem igitur none maioꝛ eſt pꝛopoꝛtio d ad cq́; dade.at qꝛ eadem eſt pꝛopoꝛtio a ad b ⁊ead d. per pꝛimã igitur huius eadem erit pꝛopoꝛtio b ada ⁊ dade.ſed d adc ꝓbata eſt maioꝛ pꝛopoꝛtione d ad e:maioꝛ igitur erit ⁊ ſua equali b ad a.qð eſt pꝛopoſitum.at qꝛ demõſtratio hec non eque aptanda eſt alijs gñibus:idcirco alia vniũſalioꝛ adhibenda eſt. Sit ergo a ad b maioꝛ pꝛopoꝛtio ꝙq́ c ad d:dico b ad a minoꝛem eẽ ꝓpoꝛ tionem ꝙ d ad c. duco enĩ c in b et pꝛoueniat cꝛet idẽ c in a ⁊ ꝓueniat f. per ſeptimã huius q̃ pppoꝛtio a ad b:ꝛeadem erit f ad e.Rurſus duco d in a ⁊ ꝓpueniat g. qꝛ c ⁊ d multiplicauerũt a ꝑ octauam eadem erit pꝛopoꝛtio fad gpꝛoducti ad pꝛoductum:q̃ c ad d multiplicãtis ad multiplicantem.Eſt igitur f ad e pꝛopoꝛtio vt a ad bꝛet fad gvt cad d.ſed pꝛopoꝛtio a ad b poſita eſt maioꝛ pꝛopoꝛtiõe c ad d: igitur pꝛopoꝛtio f ade maioꝛ eſt pꝛopoꝛtiõe eiuſdẽ f ad g.per pꝛecedẽtem igitur e minoꝛ eſt ⁊gmaioꝛ.igitur per pꝛimam partem none huius ꝓpoꝛtio e ad fminoꝛ eſt ꝙ́ᷓ gad f. ſed pꝛopoꝛtio e ad f eſt eadẽ ꝓpoꝛti oni b ad a:et ꝓpoꝛtio g ad f eadem pꝛopoꝛtioni d ad c vt facile per pꝛimam huius cognoſcere potes:

demõſtrãdũ. ESi fuerit pꝛimi ad ſcom pꝛopoꝛtio maioꝛ qᷓ tertii ad quartum: erit pꝛimi ũ MrlT Pant artum: erit pꝛimi

maioꝛ q́; ſecundi ad quartum. 4 pumi ad tertiũ zet ſit a ad b ꝓpoꝛtio maioꝛ q́;

cad d. dico maioꝛem eſſe ꝓpoꝛtiõem a ad cpꝛimi ad tertiũ: T b ad d ſecũdi ad quartũ.duco enĩ a in b