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lichen Formen ausgedrückt? Das Fundament unserer Wissen- schaft wurde stärker gemacht. Der systematische Zusammen- hang der Sätze in der Theorie der reellen Funktionen wurde 58 Von ganz anderer Seite kam eine ähnliche Wir- B nämlich von der Forschung in den Grundlagen der Geo- metrie, die uns wegen Pasch 1 ganz besonders interessiert. Der spekulative 190 zugleich 805 Geist am Anfang des vorigen Jahrhunderts Aer Want die zweitausend Jane alte e in der Behandlung der Geometrie ohne Parallelen- axiom. Dur ch Kritik und Spekulation zugleich wurde erkundet,

was für Erscheinungen auftreten, wenn das Parallelenaxiom nicht gilt, dann aber wurde das vom Parallelenaxiom Freie 5 System, die Nicht-Euklidische Geometrie, aufgerichtet. Ein ungeheurer Fortschritt wurde so in der Mathe- 110 0 durch die gleichzeitige Leistung von Bolyai und Lobat- schevskij gemacht. Die Abhängigkeit geometrischer Sätze von einander wurde erkannt: z. B. der Satz von der Winkelsumme im Dreieck folgt nicht ohne Parallelenaxiom; dab die Lote im Dreieck sich in einem Punkte schneiden, folgt ohne Parallelenaxiom. Auch von Seiten der neuen, projektiven Geometrie aus wurde man zu der Nicht-Euklidischen Geo— melrie geführt, als man, wieder im Geiste dieser Zeit, ver- suchte, 915 Sätze der projektiven Geometrie abzuleiten nur auf Grund projektiver Grundsätze, als man also versuchte, eine innere Geschlossenheit in den Bau der projektiven Geometrie von unten an hereinzubringen. Wir haben hier wieder das Problem der Struktur einer mathematischen Disziplin vor uns. Die Nicht-Euklidische Geometrie kommt natürlich hier- bei zur Geltung, weil das Parallelenaxiom kein projektiver Grundsatz ist; Gen ein Paar von Parallelen wird durch Pro- jektion in ein Paar sich schneidender Geraden verw andelt.— Auch die Untersuchung krummer Flächen führte auf die Nicht-Euklidische Geometrie, denn hier zeigte es sich, vor allem durch die Untersuchungen von Gauß, daß) man von einer„inneren“ Geometrie auf diesen Flächen sprechen kann, die sich unabhängig von dem die Fläche umgebenden Raum entwickeln läßt. Manche dieser Flächen haben sogar genau dieselben Eigenschaften wie Teile der Nicht-Euklidischen Ebene, wenn man nur die geometrischen Gebilde der Ebene in ge- eigneter Weise auf den Flächen interpretiert. Wir haben auch