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105. Aus dieſen abgeleiteten allgemeinen Gliedern (iu) der correſpondirenden Reihen ergiebt ſich, daß einige ihrer

Coefficienten und Faktoren beſtändig ſind, andere ſich ändern, ſowie daß jedes allgemeine Glied einen beſonderen, nicht mit

den Größen m und p behafteten, (hier eingeklammerten) Faktor hat. Es läßt ſich daher aus denſelben noch allgemeiner weiter ableiten:

p —1 1 6, S6 — Em—p)n An (p—)(—pf1)p 0n2p47 Dp-s [y) B2np in welcher Darſtellung die Buchſtaben a, 6, „, „, V noch näher zu beſtimmende Größen bezeichnen.

106. Wenn man nun die Umkehrung der Reihe, noch weiter als bisher geſchehen iſt, fortſetzt, ſo ergiebt ſich für den mit den Größen m und p nicht behafteten Faktor [) daſſelbe Bildungsgeſetz, welches für den zuſammengeſetzten Faktor (6.), beziehungsweiſe das Polynomium (1.), ſtattfindet und man hat nur nöthig in (1.)

ſie für F für D ſür ſür N ſ w zu ſchreiben und dabei die Stellenzahl, beziehungsweiſe den Exponenten von X um 2 zu vermehren, damit zugleich die für N nach und nach beſtimmten Größen in Gruppen gehörig geſchichtet werden. Daher wollen wir den Faktor U Polynomial⸗ Faktor nennen und denſelben, um ihn alsbald von den übrigen Faktoren zu unterſcheiden, einklammern. Demgemäß ergeben ſich für [V) nach und nach die Werthe:

k, 1 M, H, K, L.,

ſ

welche wir zur deutlichen Ueberſicht und zugleich geordnet nach den Hauptgruppen in nachſtehendem Schema (109.) zuſam⸗ menſtelleu.

107. In dieſem Schema enthält die erſte Horizontalſpalte die Stellenzahlen der Hauptgruppen der Entwickelung und die unter denſelben befindlichen, in den Vertikalſpalten ſtehenden, Größen ſind die, nicht mit den Größen m und p behafteten Polynomial⸗Faktoren der zuwachſenden allgemeinen Glieder der correſpondirenden Reihen. Es läßt ſich nun nach dieſem Schema die Zahl der Vertikalreihen jeder Hauptgruppe (102.) weiter beſtimmeu.

Man erhält aus ihm

für die Hauptgruppe: 1 17 die Zahl der Vertikalreihen des Zuwachſes: . 7 8 1 und hieraus die Zahl ſämmtlicher; Vertikalreihen: 5 13

wenn man jedesmal die Zahl der allgemeinen Glieder des Zuwachſes zu der Zahl der Vertikalreihen der vorhergehenden Hauptgruppe addirt.

108. 1) Wenn man die Formel (105) mit den Formeln für p (104) in Bezug auf die Exponenten von D vergleicht, ſo findet ſich, daß ſo oft p um eine Einheit zunimmt, dies auch mit den Erponenten von D der Fall iſt und daß für dieſe Formeln 0 = p — 6 nämlich p = iſt; d. h. 6 iſt ſtets gleich dem Index des Polynomial⸗Faktors [V) und der kleinſte Werth von p iſt ſtets gleich 6. Laſſen wir daher p in 6 übergehen, ſo beziehen wir die betreffende Formel, anſtatt auf alle Vertikalreihen correſpondirender Reihen, nur auf deren erſte Vertikalreihe.

2) Vergleicht man die Formel (105.) mit den Formeln 04.) in Bezug auf a, ſo findet ſich, daß dieſe Größe jedesmal die Zahl der Faktoren von (den etwaigen Zahlen-Coefficienten nicht mitgerechnet) ausdrückt. Durch weitere Vergleichung dieſer und der auf dieſelbe Weiſe noch weiter entwickelten Formeln findet ſich ferner:

und