102. Wenn man das Bildungsgeſetz der Umkehrung der Reihen (101.) näher unterſucht, ſo ergibt ſich, daß ſämmtliche Glieder der Entwickelung Funktionen von A und B ſind, daß ſie ſich vertikal ordnen nach auf einander folgenden Potenzen von A und daß der Exponent von A zugleich die Zahl der Horizontalreihe bezeichnet — von dem erſten Gliede der Ent⸗ wickelung an gezählt — in welcher ſich ein fragliches Glied vorfindet.

Sämmtliche Glieder der Entwickelung bilden unendlich viele Hauptgruppen unendlicher, in vertikaler Richtung fortſchrei⸗ tender, Reihen. Die Hauptgruppen folgen ſtaffelförmig aufeinander und ihre Vertikalreihen ſchichten ſich ſelbſt wieder in ihren Anfangsgliedern ſtaffelförmig und bilden Gruppen unter ſich.

Die erſte Hauptgruppe beſteht nur aus einem einzigen Gliede, jede der zweiten und dritten Hauptgruppe aus einer einzigen Vertikalreihe, die vierte Hauptgruppe beſteht aus zwei Vertikalreihen, die fünfte aus drei, die ſechſte aus fünf, die ſiebente aus ſieben, die achte aus eilf Vertikalreihen 3c. Ueberhaupt iſt die Zahl der Vertikalreihen einer Hauptgruppe ab⸗ hängig von der Zahl der Glieder derjenigen Klammer, in welcher D, D?, Do, Du ꝛc. erſcheint, was (nach 6) aus der Ent⸗ wickelung des Polynomiums (1.) ldaſelbſt mit Berückſichtigung von EQl.) D für 6 geſchrieben) hinlänglich erhellet.

103. Die allgemeinen Glieder der entwickelten Vertikalreihen ergeben ſich leicht aus den bereits entwickelten Gliedern, da das Geſetz des Fortſchreitens derſelben klar vorliegt.

Bezeichnet m die Zahl und u den Werth des allgemeinen Gliedes irgend einer Vertikalreihe der Entwickelung, wobei m jedesmal die Zahl der Horizontalreihe, alſo den Exponenten von A bezeichnen ſoll (102.), ſo wollen wir den Buchſtaben m noch mit charakteriſtiſchen Zeichen verſehen, um zugleich die Zahl der Hauptgruppe und die der betreffenden Vertikalreihe auszudrücken.

Es ſei allgemein ma der Werth des mit An als Faktor behafteten Gliedes der qten Vertikalreihe der pten Hauptgruppe.

Vertikalreihen, deren allgemeine Glieder die Form haben:

p pH p†2 p3

wollen wir correſpondirende Reihen nennen. Die allgemeinen Glieder der entwickelten Vertikalreihen ſollen nun, nach correſpondirenden Reihen geordnet, nachſtehend zuſammengeſtellt und aus ihnen wieder die allgemeinen Glieder der correſpondirenden Reihen abgeleitet werden.

Allgemeine Glieder der Bertikalreihen.

2 104. 1) H = — . 2 Qm — 2)1 An(m — 1) CnDo. B—2n1 2) M= + — (2m — 3) n 3 An (m — 2)1 Cm 3) B— 2†2 1 3) ℳ= — —3 (2m — 4)n 4 An(m — 3)% Cn De. B n

4) ü — S 5 (ZIm S 5 Am (m 2 4) Cm7D3. B 2m†4

1

5) M Qm — 6) n—6 An (m — 5)4 CmD4 B 2m†5 1

6) = En — 7)n A(m — 6)% CDh. Brf

P 5 M = — m — p)n- p 1) Cn rDr 31 6