Für den Flächeninhalt F ergibt die Integration

00 00 F= 4— 2 n. m d, drn ontm-2. ei n-m) s 0dd, 6 0 n=l m= l1

(7) F=. Vn. a,. 2=1

Zieht man jetzt die Schwarzsche Ungleichung

2 2 n (8) or= e. 6- „= ꝛ1 2 1„=

6) Da,e In D., „= ꝛ1—„= 1

(das Gleichheitszeichen gilt dann und nur dann, wenn alle α, gleich sind), so erhält man

(10) n²ae 2 ü 50-b„=1 5 H1 be-2 t... l = a.Eo-bn 2 2 51·5„2 2* 15,- 1‧50 25, wo das Gleichheitszeichen dann und nur dann gilt, wenn (11) 50·b„- 1 b1 · b„-2 b2 b„-3— 651 bo. ist. Demnach ist n d„ 2 S—[eeen 2. 91 H, 2 2.— 1 15, 222, 21 /n=1 2 oder E 2 . I e

Damit ist die isoperimetrische Ungleichung bewiesen; es bleibt noch die Diskussion der Möglichkeit des Gleichheitszeichens. Notwendig und hinreichend dafür hat sich die Beziehung(11) erwiesen. Es muß also