In der Tat beweist Hardy in der genannten Arbeit den folgenden Satz: Ist von einer Reihe aa?+ az+ aa be- kannt, daß sie mit den arithmetischen Mitteln 1. Ordnung

n summierbar ist, und daß ihre Partialsummen Sa= Dar die

X= 2 Bedingung: lim Sr—0 — ⸗ log n erfüllen, So konvergiert 5 Se —, log n

Für die Reihen(1) und(2) ist die erste Bedingung nach Satz 11„fast überall“ erfüllt. Wir müssen daher noch zeigen, daß„fast überall“

a) lim— n— log

= O and b) ſim 2909)

—0 nn ſ6— I'

Beweis von a). Es ist:

Su()= 1 ſerhe Ge.)1W0

2sin L

3— G 2

nle

4(er⸗ 2)0*— t)

2 sin 2 5

= ipee 9. ℳ— h)a¹ 0

E sin(n+*) =IſübAE 2= G0). 1 G)

6 2 sin 4

wo „(t)= 16t)— f(—t)— 2tf(³) gesetzt wurde. Es ist somit: