ingung

2

ichend I 2ei

dt sich n vor- Anktion Veisen, e beim gI. ES unktion 9) als

hwan-

hsende Kommt

7.

u,8= 2e 9=.d(t.(e)-f 2 TTr 2r os(5 a) 111() 2e)

1 5(1 J 1) df(a) 1+ 12— 21 cos(— a)

— 1 4(1— 12²) dfe() 2 2 1+ r²— 21 cos(— a)

= uI(1, 9)— ug(1, 9),

wo ul(r, O) und ug(r, 9) offenbar beide positive Potential- funktionen sind.

Satz 6. Genügt u(r, 9) der Bedingung(0), so besteht der Satz 4(ohne Zusatz) auch für die zu u(r,») konjugierte Potentialfunktion v(T, 9).

Beweis: Da nach Satz 5 uAr, 9) sich als Differenz von zwei positiven Potentialfunktionen darstellen läßt, so genügt es, wenn wir bei dem Beweis von 6 u(r, 9) als positive Potentialfunktion voraussetzen. Bilden wir dann die analytische Funktion:

— 1 (16) 7,O)= Wie)i i so ist für z2= 1 (12)„(Z)== 0 und andererseits (18)[„»(2)= 1. ¹)

Infolge von(17) ist log"(z) für z1=I regulär, und wegen(18) ist (19)— Rllog w(z)l=— log v(z)= P(T,)= 0.

Da„()= 1, so strebt»(z) nach Fatou*) in dem im Satz 4 angegebenem Sinne„fast überall“ bestimmten

¹) Mit Hilfe elnes allgemeinen Satzes über Randwerte beschränkter Potenzreinen, der von Fatou vermutet, von F. u. M. Rieß in ihrem Stockholmer Kongrebvortrag von 1916 bewiesen worden ist, ließe sich der Beweis zu Ende führen. Ich glaubte aber meinen ursprünglichen Beweis für den Fall(2z)== 0, den ich vor Kenntnisnahme der F. u. M. Rieb- schen Arbeit gefunden hatte, beibehalten zu dürfen.

²) P. Fatou, loc. cit. S. 330—337.