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Damit ist bewiesen, daß in jedem inneren Bereich C der Uberlagerungsfläche die Funktionen fr(x) mit wachsendem e gleichmäßig einer Grenzfunktion †(*) zustreben. Diese Funktion f(x*) bildet die ganze Oberlagerungsfläche auf das ganze Innere des Einheitskreises ab, denn nach unserer oben gemachten Bemerkung nähert sich das Bild des Randes von Tu gleichmäßig der Peripherie des Einheitskreises, wenn k in das Unendliche wächst. Da jeder Bereich Tu von jeder Funktion f+ά Schlicht auf ein Gebiet des Einheits- kreises abgebildet wird, so ist auch die durch †(z) Ver- mittelte Abbildung von Tr schlicht, d. h. die UÜberlagerungs- fläche wird durch f(x) schlicht auf das ganze Innere des Einheitskreises abgebildet und zwar so, daß Po dem Null- punkt entspricht, und die von Po ausgehenden Richtungen parallel übertragen werden.

Die Beziehung zwischen den einzelnen Zweigen der Funktion y= f() ist linear. Zunächst sieht man ein, daß kein Blatt der Uberlagerungsfläche vor einem anderen durch irgend welche Eigenschaften ausgezeichnet ist. Wir können deshalb auch eine Funktion †(x) finden, die die Uber- lagerungsfläche gegenseitig eindeutig und konform auf das Innere des Einheitskreises bezieht und zwar so, daß der Punkt Po, der mit Po dieselbe Koordinate o gemein hat, aber in einem anderen Blatt liegt, auf den Nullpunkt abge- bildet wird, und die Richtungen, die von Po“ ausgehen, parallel übertragen werden.(x) unterscheidet sich von f(x) nur so, wie sich die verschiedenen Zweige von 7(*) untereinander unterscheiden. Ist ½=„(y) die Umkehr von y= f(z), so wird durch

Jy= f.( O)) das Innere des Einheitskreises gegenseitig eindeutig und konform auf sich selbst abgebildet. Die Beziehung zwischen f(r) und(x) ist also eine linear gebrochene Transformation, die die Scheibe des Einheitskreises in sich überführt. Wenn wir den Einheitskreis als Bild einer nichteuklidischen Ebene im Sinne der Bolyai-Lobatschefskischen Geometrie auffassen, so können wir diese Transformation als Verschiebung der