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Die Vergleichung mit(19) ergiebt nun, dass die Summe

2+ m)

II(ui— ½— m)

eine Funktion des Argumentes cosic sein muss, und zwar ist diese Funktion gleich ki(cos icο),

wie sich ergiebt, wenn man 9.= 0 setzt, wodurch die Summe sich auf ihr erstes Glied reduziert. Auf diese Weise ist das Additionstheorem der Kegelfunktionen für das in der angegebenen Weise zusammengesetzte Argument gewonnen.

Hieran will ich noch eine Ableitung des Satzes knüpfen, der in ähnlicher Weise, wie die Laplace'sche Entwicklung nach Kugelfunktionen bei Potentialaufgaben über die Kugel und das Rotationsellipsoid, bei solchen über die Kugelkalotte und das zweifache Rotationshyperboloid zur Darstellung willkürlicher Funktionen zweier Variablen benutzt werden kann. Wenn die Dichtigkeit einer auf einer Kalotte vom Parameter es verteilten Massenschicht in der Form

44 34 4 74 ka(cosi⁹) ku(cosio*) cosm(— G.)

; 13

cos 194 †+ cos e.). f(dϑs, 9) gegeben ist, so ist das Potential der Massenschicht in Bezug auf einen beliebigen Punkt 0, 9, des Raumes:

„= cos i˙+ cose 0

. O 272 I cos(0— 9— 71) Hi 5*ſ sin 19 1.ſ 49(cos iο) f(9, s) dos. cos u i 0 0 0

Der Laplace'’sche Satz, der die Dichtigkeit einer Massenschicht durch die Differenz der nach der Normale genommenen Differentialquotienten des Potentials ausdrückt, nimmt im vorliegenden Falle die Form an:

— 0„v 0 8. 9——. 3E. 169, 9)(2)= 27 † e⸗)(8)(= e.) Beachtet man nun, dass in dem Ausdrucke für» der erste Faktor auf der rechten Seite nach e differentiiert beim Durchgange durch die Fläche keine Stetigkeitsunterbrechung

erleidet, so erhält man sofort die gesuchte Darstellung: 5 22

4. (21) f(, 9)=— 1 utg uri ſ sin i9⁵ d.9⁵ J ké(cos ic) f(9*, G⸗) dg⸗. 2 71.

0 0 0 Diesen Satz habe ich im Programm von 1870 mitgeteilt, ohne den Weg anzugeben, auf dem ich zu demselben gelangt war. Eine Ableitung des Satzes ist später von Heine

4 cos id c