Wir erhalten, in der gleichen weise wie oben verfarend, aus unserer gleichung s= ax*

durch differentiation ds= 14. d. C‿— da und daraus ds= da* † dg?= 42. a* x2(— 2 da*, also d**el ſ=(1²½. a²—Q2 ‧— 1)— 1) da

. dg= Vur as æνρα‿ια— 1. dæ

und endlich, ſe 19* 220-v— 1 4. a* πQν‿κα— 1

Füren wir diese integration aus, so kommen wir zu einer gleichung für„ z. b.= †(α die wir als explicite gegebene curvengleichung aufzufassen und zu discutiren haben.

Wir haben aber„ als ein unbestimmtes integral zu nehmen; sollen wir ein bestimmtes stück der curve hinsichtlich seiner proportionalität zu einer potenz der abscisse untersuchen, so müssen grenzen eingefürt und das bestimmte integral innerhalb dieser grenzen genommen werden.

Auf die art und den verlauf der curve hat diese frage jedoch keinen bezug.

Anders ist es mit der auftretenden integrationsconstante.

Das differential einer constante ist null; es kann also in der ursprünglichen curvengleichung S= a. eine constante C hinzugefügt werden, ohne dass die erhaltenen resultate dadurch irgendwie alterirt würden.

Ganz in derselben weise haben wir irgend welche constante dem erhaltenen integral hinzu- zufügen, ohne dass dadurch die natur der durch das integral repräsentirten curve geändert würde.

Jedem werte des exponenten ¼α entsprechen unendlich viele curvengleichungen, die sämmtlich gleich dem wert des unbestimmten integrals

= S. ασ— 1 da vermehrt um eine willkürliche constante sind, sich also von einander nur um eine constante unterscheiden.

Die zu diesen gleichungen gehörigen curven sind sämmtlich parallel.

Irgend eine derselben sei=(a), eine andere.=()+† C, so sind diese curven parallel, weil ihre ordinaten dieselbe function der abscisse sind und nur um eine constante differiren.

Die hinzufügung einer constante zu einer curvengleichung= /(x) bedeutet eine parallele verschiebung der abscissenaxe, wärend die lage der ordinatenaxe unverändert bleibt.

Bei den beiden parallelen curven„yé= fG)

= †)+ C sind bei entsprechenden puncten die tangenten gleich; sie bilden mit der abscissenaxe gleiche winkel l resp.*, letztere müssen demnach auch gleiche trigonometrische tangenten haben, d. h. es muss sein

tga=tg*.

dg.

v. Nun ist 1e a„

P daæ

tg= din

5 dæ

und in der tat ist auch

d= d91 da dæ

also sind die curven parallel. Für unsere untersuchungen genügt es, von derartigen additiven constanten vollständig ab- zusehen und nur die aus dem unbestimmten integral sich ergebende curvengleichung zu betrachten.