§ 4.

Die Centralprojektionen der ebenen Kurven dritter Ordnung, insbesondere diejenigen der rationalen Kurven dieser Ordnung.

1. Die Centralprojektion einer ebenen Kurve als Spezialfall der in§ 1 angegebenen quadratischen Verwandtschaft.

Wenn bei der in§ 1 beschriebenen Zuordnung von Punkten einer Ebene der Punkt 0“1 mit dem unendlich fernen Punkte der Geraden 0102 zusammenfällt, die Geräde g aber noch eine ganz beliebige Lage hat, so kann die Kurve, welche einer gegebenen entspricht, auch als Central- projektion der ursprünglichen aufgefasst werden.

Beweis. Die gegebene Kurve soll in der Ebene a, ihre Centralprojektion in der Ebene liegen. Das Projektionscentrum werde mit 0 bezeichnet, und dem Punkte P in« soll der Punkt P' in a' entsprechen.

Verbindet man nun P mit irgend einem Punkte(C) der Schnittgeraden(g) von a und α zieht durch O eine Parallele zu PO und verbindet ihren Schnittpunkt(01) auf mit O, so geht die Gerade OiC auch durch P“ und zwar ist P“O0= 3— ve

Wird die Ebene um die Gerade g gedreht, bis sie mit zusammenfällt, so fällt der Punkt P auf einen bestimmten Punkt P in, und es ist Po= PO.

Zieht man ferner durch 0. eine Parallele zu PO, welche so lang ist wie 001 und be- zeichnet ihren Endpunkt mit O?, so geht auch die Gerade OP durch Pe. Denn angenommen,

OaP würde OP'in R schneiden, so ist OR= 9 49 Da aber PO= PO und 00= 0.102,

so ist auch P”O= QR, was nur möglich ist, wenn O2P durch P' geht.

Bei der Ermittelung der Projektionen beliebig vieler Punkte von bleibt die Strecke 000 stets dieselbe, falls man durch die zu projizierenden Punkte parallele Strahlen zieht. Und nach- dem α und a zur Deckung gebracht sind, bleibt unter derselben Voraussetzung auch 0102 dieselbe Strecke und ist zu allen Geraden in«* parallel, auf welche das System der Parallelen fällt.

Wenn in der Ebene αν qdie Punkte O. und O2 und die Gerade g festgelegt sind, so findet man durch folgende Zeichnung den zugeordneten Punkt von P.

Durch den unendlich fernen Punkt der Geraden 0102 wird ein Strahl nach P gezogen und sein Schnittpunkt(O) auf g mit O. verbunden. Hierauf verbindet man auch P mit O? und