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Laufe der Rechnung erforderlichen Subtractionen liefern, werden über die entsprechenden Ziffern des Radicanden gesetzt, die dann als ungültig angesehen werden. Nach dieser Methode berechnet er 20²⁵— 45,; 6169002849— 78543.

Wenn der Radicand keine Quadratzahl ist, so wird der verbleibende Rest mit 60 multipliziert und dann auf Minuten u. s. w. weiter gerechnet, oder es werden dem Radicanden von vorn herein 2 Nullen angehängt, und aus der so entstandenen Zahl wird die Wurzel gezogen. Der Rest, welcher sich dabei ergiebt, wird weggelassen. Die erhaltene Zahl wird dann— mal nach einander mit 60 multipliziert, und das Produkt wird, nachdem die am Ende stehendeu n Nullen weggelassen worden sind, mittels successiver Divisionen durch 60 auf höhere Benennungen gebracht.

Nach diesen Methoden*) zieht Mis rachi die Wurzel aus 2000. Er erhält zuerst 44⁰ 437 16, dann bei Anhängung von 8 Nullen 44° 437 16 40," 48 1V.

Die Begründung des Verfahrens, die natürlich auf der Formel (a+ b) 2= a?+ 2 ab+ b beruht, erfolgt in Form einer Reihe von Fragen und Antworten.

Eine zweite Methode, deren sich Misrachi bedient, besteht in Folgendem: Wenn sich als Wert der Wurzel a ergeben hat und ein Rest geblieben ist, der natürlich 22 †. 1

..... T. sein wird, so nimmt er als Näherungswert der Wurzel a 22 an, setzt also näherungsweise a

VA 2 †Pr=a+ 22: auch von dieser Methode sagt er, daß sie von früheren Schriftstellern

angewandt worden sei.**)

Nachdem die Ausziehung der Quadratwurzel aus ganzen Zahlen gelehrt ist, werden die Brüche und gemischten Zahlen dieser Operation unterzogen. Die allgemeine Regel für die Brüche lautet: Ziehe die Wurzel aus dem Zähler und dem Nenner und nimm qas Verhältnis beider Wurzeln. Beispiel: 15 ⁄¶ ά—e 1 ¾¼= 2 ½ oder 100)

6— V6 1G¼= 2 ½.

*) Nach demselben Princip, aber etwas kürzer wird verfahren in der durch Johannes Hispalensis aus dem Arabischen ins Lateinische übersetzten Schrift Liber Algorismi de pratica arismotrice(Trattati d'aritmetica, pubblicati da Boncompagni, II, p. 86), deren Verfasser noch nicht mit Sicherheit ermittelt ist. Der Marokkaner Ibn Albanna(um 1250 geboren) multipliziert allgemeiner den Radicanden a mit einer großen Quadratzahl q², zieht die Wurzel aus aà d*, wobei der Rest vernachlässigt wird, und dividiert den erhaltenen Wert duarch q.(Le Talkhys, p. 23).

**) Genau so wird in dem Liber Algorismi verfahren, das in der vorhergehenden Anmerkung erwähnt ist. Trattati etc. p. 77.

Alkarkhi(um 1000 n. Chr.) üimmt näherungsweise a²+

r r= a+ 22+1 an.(Kafi fil

Hisäb, deutsch von Hochheim, II, p. 14). Ebenso macht es Beha-eddin(Ausgabe von Nesselmann, p. 15). Ibn Albanna unterscheidet zwei Fälle: Wennr= a ist, so setzt er Vai r= a+ 2 Ist aber r= a, so nimmt er Va †r= a+ 24 11 an(Le Talkhys, p. 23). Alkalgadi(um 1480 gest.) giebt für r.=a denselben Näherungswert wie Ibn Albanna.

Wenn aber r— a ist, so setzt er a r= a+— 2. Atti dell' Accademia Pontificia de' Nuovi Lincei, XII, p. 402 ff.